Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{3 x^{2} + x}}{x^{2} - 1}$

Bước 1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x) + x}}{x^{2} - 1}$

Bước 1.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x) + x^{1}}}{x^{2} - 1}$

Bước 1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x) + x \cdot 1}}{x^{2} - 1}$

Bước 1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x) + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (3 x + 1)}}{x^{2} - 1}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $- \sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x^{4}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x \cdot x^{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (3 x + 1)}{x \cdot x^{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 5.2

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 5.3

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 1}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 6

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{3}$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3 x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 7.5

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 9

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{3}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 10

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 10.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 10.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 11

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{3 \cdot 0 + 0}{1}}}{1 - 0}$

Bước 12

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Chia $3 \cdot 0 + 0$ cho $1$ .

$\frac{- \sqrt{3 \cdot 0 + 0}}{1 - 0}$

Bước 12.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $3$ với $0$ .

$\frac{- \sqrt{0 + 0}}{1 - 0}$

Bước 12.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{- \sqrt{0}}{1 - 0}$

Bước 12.2.3

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{0^{2}}}{1 - 0}$

Bước 12.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{- 0}{1 - 0}$

Bước 12.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{- 0}{1 + 0}$

Bước 12.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{- 0}{1}$

Bước 12.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{0}{1}$

Bước 12.5

Chia $0$ cho $1$ .

$0$