Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x^{3} + 5 x}{4 x - 6}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} + 5 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

Bước 3

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

Bước 4

Chuyển số hạng $5$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - 6}$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 6}$

Bước 6

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 6}$

Bước 7

Tính giới hạn của $6$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 6}$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 6}$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 5 (\frac{1}{2})}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 6}$

Bước 8.3

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{1}{2}$ cho $x$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{3} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1^{3}}{2^{3}} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Bước 9.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\frac{1}{2^{3}} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Bước 9.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{\frac{1}{8} + 5 (\frac{1}{2})}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Bước 9.1.4

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5}{2}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Bước 9.1.5

Để viết $\frac{5}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{4}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Bước 9.1.6

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.6.1

Nhân $\frac{5}{2}$ với $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 4}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Bước 9.1.6.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{\frac{1}{8} + \frac{5 \cdot 4}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Bước 9.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{1 + 5 \cdot 4}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Bước 9.1.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.8.1

Nhân $5$ với $4$ .

$\frac{\frac{1 + 20}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Bước 9.1.8.2

Cộng $1$ và $20$ .

$\frac{\frac{21}{8}}{4 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 6}$

Bước 9.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{\frac{21}{8}}{2 (2) \frac{1}{2} - 1 \cdot 6}$

Bước 9.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{21}{8}}{2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1 \cdot 6}$

Bước 9.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{21}{8}}{2 - 1 \cdot 6}$

Bước 9.2.2

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{\frac{21}{8}}{2 - 6}$

Bước 9.2.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$\frac{\frac{21}{8}}{- 4}$

Bước 9.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{21}{8} \cdot \frac{1}{- 4}$

Bước 9.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{21}{8} (- \frac{1}{4})$

Bước 9.5

Nhân $\frac{21}{8} (- \frac{1}{4})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Nhân $\frac{21}{8}$ với $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{21}{8 \cdot 4}$

Bước 9.5.2

Nhân $8$ với $4$ .

$- \frac{21}{32}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{21}{32}$

Dạng thập phân:

$- 0.65625$