Giải tích Ví dụ

$\frac{5}{x^{3}} + 3 \sqrt[4]{y} = 18$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}} = 18$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}) = \frac{d}{d x} (18)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{5}{x^{3}} + 3 y^{\frac{1}{4}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5}{x^{3}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{3}$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3}$ .

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$5 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$5 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$5 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$5 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.2.8

Nhân $- 3$ với $5$ .

$- 15 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y^{\frac{1}{4}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.3.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} y')$

Bước 3.3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} y')$

Bước 3.3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{4}{4}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} y')$

Bước 3.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} y')$

Bước 3.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{1 - 4}{4}} y')$

Bước 3.3.7.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{\frac{- 3}{4}} y')$

Bước 3.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{1}{4} y^{- \frac{3}{4}} y')$

Bước 3.3.9

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $y^{- \frac{3}{4}}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 (\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4} y')$

Bước 3.3.10

Kết hợp $\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4}$ và $y'$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y^{- \frac{3}{4}} y'}{4}$

Bước 3.3.11

Di chuyển $y^{- \frac{3}{4}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 x^{- 4} + 3 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Bước 3.3.12

Kết hợp $3$ và $\frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$ .

$- 15 x^{- 4} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Kết hợp $- 15$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Bước 3.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Bước 4

Vì $18$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $18$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- \frac{15}{x^{4}} + \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 0$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Cộng $\frac{15}{x^{4}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = \frac{15}{x^{4}}$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế với $4 y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Rút gọn $\frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{3 y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{\frac{3}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$3 y' = \frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Rút gọn $\frac{15}{x^{4}} (4 y^{\frac{3}{4}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 y' = 4 \frac{15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Bước 6.3.2.1.2

Nhân $4 \frac{15}{x^{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{15}{x^{4}}$ .

$3 y' = \frac{4 \cdot 15}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Bước 6.3.2.1.2.2

Nhân $4$ với $15$ .

$3 y' = \frac{60}{x^{4}} y^{\frac{3}{4}}$

Bước 6.3.2.1.3

Kết hợp $\frac{60}{x^{4}}$ và $y^{\frac{3}{4}}$ .

$3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

Bước 6.4

Chia mỗi số hạng trong $3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$ cho $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Bước 6.4.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{\frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}}{3}$

Bước 6.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}} \cdot \frac{1}{3}$

Bước 6.4.3.2

Kết hợp.

$y' = \frac{60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4} \cdot 3}$

Bước 6.4.3.3

Đưa $3$ ra ngoài $60 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1$ .

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{x^{4} \cdot 3}$

Bước 6.4.3.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $x^{4} \cdot 3$ .

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

Bước 6.4.3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{3 (20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1)}{3 \cdot x^{4}}$

Bước 6.4.3.4.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}} \cdot 1}{x^{4}}$

Bước 6.4.3.5

Nhân $20$ với $1$ .

$y' = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 y^{\frac{3}{4}}}{x^{4}}$