Giải tích Ví dụ

$y = - 7 x (8^{- 2 x})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- 7 x \cdot 8^{- 2 x})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x \cdot 8^{- 2 x}$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x \cdot 8^{- 2 x}]$ .

$- 7 \frac{d}{d x} [x \cdot 8^{- 2 x}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 8^{- 2 x}$ .

$- 7 (x \frac{d}{d x} [8^{- 2 x}] + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = 8^{x}$ và $g (x) = - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 2 x$ .

$- 7 (x (\frac{d}{d u} [8^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $8$ .

$- 7 (x (8^{u} \ln (8) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 2 x$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) (- 2 \cdot 1)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.3

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 7 (x (8^{- 2 x} \ln (8) \cdot - 2) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.3.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $8^{- 2 x} \ln (8)$ .

$- 7 (x (- 2 \cdot (8^{- 2 x} \ln (8))) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.3.3

Đưa dấu âm ra ngoài.

$- 7 (x (- (2 \cdot 8^{- 2 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.4.1

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$- 7 (x (- (2 \cdot {(2^{3})}^{- 2 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.3.4.2

Nhân các số mũ trong ${(2^{3})}^{- 2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (x (- (2 \cdot 2^{3 (- 2 x)}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.3.4.2.2

Nhân $- 2$ với $3$ .

$- 7 (x (- (2 \cdot 2^{- 6 x}) \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x} \cdot 1)$

Bước 3.7

Nhân $8^{- 2 x}$ với $1$ .

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8)) + 8^{- 2 x})$

Bước 3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 7 (x (- 2^{1 - 6 x} \ln (8))) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Bước 3.8.2

Nhân $- 1$ với $- 7$ .

$7 x (2^{1 - 6 x} \ln (8)) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Bước 3.8.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$7 \cdot 2^{1 - 6 x} x \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Bước 3.8.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $7 \cdot 2^{1 - 6 x} x \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$ .

$7 x \cdot 2^{1 - 6 x} \ln (8) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 7 x \cdot (2^{1 - 6 x} \ln (8)) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 7 x \cdot (2^{1 - 6 x} \ln (8)) - 7 \cdot 8^{- 2 x}$