Giải tích Ví dụ

$y = \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{e^{x}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 10

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{\frac{e^{x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 12

Nhân $\frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ với $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 13

Kết hợp.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Bước 14

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Bước 15

Triệt tiêu thừa số chung $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Bước 15.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{x} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Bước 16

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}])}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Bước 17

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Bước 18

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Bước 18.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Bước 19

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{x} - 2 x^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Bước 19.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{x} - 2 x^{1} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Bước 20

Rút gọn.

$\frac{e^{x} - 2 x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Bước 21

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - 2 x e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}$

Bước 22

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 2 e^{x} x + e^{x}}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- 2 e^{x} x + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- 2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- 2 x) + e^{x}}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.2.2

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 1}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.2.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (- 2 x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- 2 x + 1)}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.3

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{x} (- 2 x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.4.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $2 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{e^{2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 22.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 2 x + 1))}{e^{2 x} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 22.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{- x} (- 2 x + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{e^{- x} (- (2 x) + 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.6

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- (2 x - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.8

Viết lại $- (2 x - 1)$ ở dạng $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (2 x - 1))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 22.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{e^{- x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$