Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x}{e^{x}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{e^{x}})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Bước 3.2.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.2.3

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- e^{x} x + e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 3.4.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} x + e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x}}{e^{2 x}}$

Bước 3.4.2.2

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x}}$

Bước 3.4.2.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Bước 3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{x}$ và $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $e^{x} (- x + 1)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Bước 3.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Bước 3.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Bước 3.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Bước 3.4.3.2.4

Chia $e^{- x} (- x + 1)$ cho $1$ .

$e^{- x} (- x + 1)$

Bước 3.4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$

Bước 3.4.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 1$

Bước 3.4.6

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Bước 3.4.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - x e^{- x} + e^{- x}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- x} + e^{- x}$