Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{- 1} + 3 x^{- 2}}{x^{- 2} + 4}$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{- 1} + 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Bước 3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} x^{- 1} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Bước 4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 3 x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Bước 6

Chuyển số hạng $3$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} x^{- 2}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Bước 7

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Bước 8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + 4}$

Bước 9

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} x^{- 2} + lim_{x \to \infty} 4}$

Bước 10

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} 4}$

Bước 11

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{0 + lim_{x \to \infty} 4}$

Bước 12

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0}{0 + 4}$

Bước 12.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2 \cdot 0 + 3 \cdot 0$ và $0 + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{0 \cdot 2 + 0 \cdot 3}{0 + 4}$

Bước 12.2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $0 \cdot 2$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2) + 0 \cdot 3}{0 + 4}$

Bước 12.2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $0 \cdot 3$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2) + 4 (0 \cdot 3)}{0 + 4}$

Bước 12.2.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (0 \cdot 2) + 4 (0 \cdot 3)$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{0 + 4}$

Bước 12.2.1.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 (0) + 4}$

Bước 12.2.1.5.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 \cdot 0 + 4 \cdot 1}$

Bước 12.2.1.5.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 0 + 4 \cdot 1$ .

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 \cdot (0 + 1)}$

Bước 12.2.1.5.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (0 \cdot 2 + 0 \cdot 3)}{4 \cdot (0 + 1)}$

Bước 12.2.1.5.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{0 \cdot 2 + 0 \cdot 3}{0 + 1}$

Bước 12.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.2.1

Nhân $0$ với $2$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 3}{0 + 1}$

Bước 12.2.2.2

Nhân $0$ với $3$ .

$\frac{0 + 0}{0 + 1}$

Bước 12.2.2.3

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Bước 12.2.3

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{0}{1}$

Bước 12.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$0$