Giải tích Ví dụ

$\int 64 x^{3} {(4 x^{2} - 1)}^{3} d x$

Bước 1

Vì $64$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $64$ ra khỏi tích phân.

$64 \int x^{3} {(4 x^{2} - 1)}^{3} d x$

Bước 2

Khai triển $x^{3} {(4 x^{2} - 1)}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$64 \int x^{3} ({(4 x^{2})}^{3} + 3 {(4 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (4 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) d x$

Bước 2.2

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$64 \int x^{3} (4 x^{2} {(4 x^{2})}^{2} + 3 {(4 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (4 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) d x$

Bước 2.3

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$64 \int x^{3} (4 x^{2} (4 x^{2} (4 x^{2})) + 3 {(4 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (4 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) d x$

Bước 2.4

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$64 \int x^{3} (4 x^{2} (4 x^{2} (4 x^{2})) + 3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1 + 3 (4 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3}) d x$

Bước 2.5

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$64 \int x^{3} (4 x^{2} (4 x^{2} (4 x^{2})) + 3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1 + 3 (4 x^{2}) (- - 1) + {(- 1)}^{3}) d x$

Bước 2.6

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$64 \int x^{3} (4 x^{2} (4 x^{2} (4 x^{2})) + 3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1 + 3 (4 x^{2}) (- - 1) - {(- 1)}^{2}) d x$

Bước 2.7

Viết lại lũy thừa ở dạng một tích.

$64 \int x^{3} (4 x^{2} (4 x^{2} (4 x^{2})) + 3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1 + 3 (4 x^{2}) (- - 1) - - - 1) d x$

Bước 2.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$64 \int x^{3} (4 x^{2} (4 x^{2} (4 x^{2})) + 3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1 + 3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$64 \int x^{3} (4 x^{2} (4 x^{2} (4 x^{2})) + 3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.10

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$64 \int x^{3} (4 x^{2} (4 x^{2} (4 x^{2}))) + x^{3} (3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.11

Di chuyển $x^{2}$ .

$64 \int x^{3} (4 x^{2} (4 \cdot 4 x^{2} x^{2})) + x^{3} (3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.12

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int x^{3} (4 x^{2} (4 \cdot 4 x^{2}) x^{2}) + x^{3} (3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.13

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int x^{3} (4 x^{2} (4 \cdot 4) x^{2} x^{2}) + x^{3} (3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.14

Di chuyển $x^{2}$ .

$64 \int x^{3} (4 \cdot 4 \cdot 4 x^{2} x^{2} x^{2}) + x^{3} (3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.15

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int x^{3} (4 \cdot 4 \cdot 4 x^{2} x^{2}) x^{2} + x^{3} (3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.16

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int x^{3} (4 \cdot 4 \cdot 4 x^{2}) x^{2} x^{2} + x^{3} (3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.17

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int x^{3} (4 \cdot 4 \cdot 4) x^{2} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.18

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int x^{3} (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{2} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.19

Di chuyển $x^{3}$ .

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 (4 x^{2} (4 x^{2})) \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.20

Di chuyển $x^{2}$ .

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 (4 \cdot 4 x^{2} x^{2}) \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.21

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 (4 \cdot 4 x^{2}) x^{2} \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.22

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 (4 \cdot 4) x^{2} x^{2} \cdot - 1) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.23

Di chuyển $x^{2}$ .

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 \cdot 4 \cdot 4 x^{2} \cdot - 1 x^{2}) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.24

Di chuyển $x^{2}$ .

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x^{2} x^{2}) + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.25

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1 x^{2}) x^{2} + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.26

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot - 1) x^{2} x^{2} + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.27

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{2} x^{2} + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.28

Di chuyển $x^{3}$ .

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 (4 x^{2}) (- - 1)) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.29

Di chuyển $x^{2}$ .

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{2}) + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.30

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 \cdot 4 \cdot - 1 \cdot - 1) x^{2} + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.31

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + x^{3} (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{2} + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.32

Di chuyển $x^{3}$ .

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + x^{3} (- - - 1) d x$

Bước 2.33

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + x^{3} (- - 1 \cdot - 1) d x$

Bước 2.34

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + x^{3} (- - 1) \cdot - 1 d x$

Bước 2.35

Di chuyển $x^{3}$ .

$64 \int (4 \cdot 4) \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.36

Nhân $4$ với $4$ .

$64 \int 16 \cdot 4 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.37

Nhân $16$ với $4$ .

$64 \int 64 x^{3} x^{2} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.38

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$64 \int 64 x^{3 + 2} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.39

Cộng $3$ và $2$ .

$64 \int 64 x^{5} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.40

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$64 \int 64 x^{5 + 2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.41

Cộng $5$ và $2$ .

$64 \int 64 x^{7} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.42

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$64 \int 64 x^{7 + 2} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.43

Cộng $7$ và $2$ .

$64 \int 64 x^{9} + (3 \cdot 4 \cdot 4) \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.44

Nhân $3$ với $4$ .

$64 \int 64 x^{9} + 12 \cdot 4 \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.45

Nhân $12$ với $4$ .

$64 \int 64 x^{9} + 48 \cdot - 1 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.46

Nhân $48$ với $- 1$ .

$64 \int 64 x^{9} - 48 x^{3} x^{2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.47

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$64 \int 64 x^{9} - 48 x^{3 + 2} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.48

Cộng $3$ và $2$ .

$64 \int 64 x^{9} - 48 x^{5} x^{2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.49

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$64 \int 64 x^{9} - 48 x^{5 + 2} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.50

Cộng $5$ và $2$ .

$64 \int 64 x^{9} - 48 x^{7} + (3 \cdot 4 \cdot - 1) \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.51

Nhân $3$ với $4$ .

$64 \int 64 x^{9} - 48 x^{7} + 12 \cdot - 1 \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.52

Nhân $12$ với $- 1$ .

$64 \int 64 x^{9} - 48 x^{7} - 12 \cdot - 1 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.53

Nhân $- 12$ với $- 1$ .

$64 \int 64 x^{9} - 48 x^{7} + 12 x^{3} x^{2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.54

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$64 \int 64 x^{9} - 48 x^{7} + 12 x^{3 + 2} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.55

Cộng $3$ và $2$ .

$64 \int 64 x^{9} - 48 x^{7} + 12 x^{5} + (- - 1) \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.56

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$64 \int 64 x^{9} - 48 x^{7} + 12 x^{5} + 1 \cdot - 1 x^{3} d x$

Bước 2.57

Nhân $- 1$ với $1$ .

$64 \int 64 x^{9} - 48 x^{7} + 12 x^{5} - x^{3} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$64 (\int 64 x^{9} d x + \int - 48 x^{7} d x + \int 12 x^{5} d x + \int - x^{3} d x)$

Bước 4

Vì $64$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $64$ ra khỏi tích phân.

$64 (64 \int x^{9} d x + \int - 48 x^{7} d x + \int 12 x^{5} d x + \int - x^{3} d x)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{9}$ đối với $x$ là $\frac{1}{10} x^{10}$ .

$64 (64 (\frac{1}{10} x^{10} + C) + \int - 48 x^{7} d x + \int 12 x^{5} d x + \int - x^{3} d x)$

Bước 6

Vì $- 48$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 48$ ra khỏi tích phân.

$64 (64 (\frac{1}{10} x^{10} + C) - 48 \int x^{7} d x + \int 12 x^{5} d x + \int - x^{3} d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{7}$ đối với $x$ là $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$64 (64 (\frac{1}{10} x^{10} + C) - 48 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int 12 x^{5} d x + \int - x^{3} d x)$

Bước 8

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$64 (64 (\frac{1}{10} x^{10} + C) - 48 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 12 \int x^{5} d x + \int - x^{3} d x)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{5}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$64 (64 (\frac{1}{10} x^{10} + C) - 48 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - x^{3} d x)$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$64 (64 (\frac{1}{10} x^{10} + C) - 48 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - \int x^{3} d x)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$64 (64 (\frac{1}{10} x^{10} + C) - 48 (\frac{1}{8} x^{8} + C) + 12 (\frac{1}{6} x^{6} + C) - (\frac{1}{4} x^{4} + C))$

Bước 12

Rút gọn.

$64 (\frac{32 x^{10}}{5} - 6 x^{8} + 2 x^{6} - \frac{x^{4}}{4}) + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$64 (\frac{32}{5} x^{10} - 6 x^{8} + 2 x^{6} - \frac{1}{4} x^{4}) + C$