Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{8}}}$

Bước 1

Viết lại $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{8}}}]$ ở dạng $\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} \sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(8 - x^{3})}^{8}$ ở dạng ${({(8 - x^{3})}^{2})}^{3} {(8 - x^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa ${(8 - x^{3})}^{6}$ ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{6} {(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Bước 1.1.2

Viết lại ${(8 - x^{3})}^{6}$ ở dạng ${({(8 - x^{3})}^{2})}^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{{({(8 - x^{3})}^{2})}^{3} {(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Bước 1.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} \sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}}]$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{{(8 - x^{3})}^{2}}$ ở dạng ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2} {(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$

Bước 3

Nhân ${(8 - x^{3})}^{2}$ với ${(8 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2 + \frac{2}{3}}}]$

Bước 3.2

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Bước 3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}}}]$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 3 + 2}{3}}}]$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{6 + 2}{3}}}]$

Bước 3.5.2

Cộng $6$ và $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}]$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\frac{1}{{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}}}$ ở dạng ${({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}]$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${({(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{8}{3} \cdot - 1}]$

Bước 4.2.2

Nhân $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Kết hợp $\frac{8}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{8 \cdot - 1}{3}}]$

Bước 4.2.2.2

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{\frac{- 8}{3}}]$

Bước 4.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{d x} [{(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3}}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{8}{3}}$ và $g (x) = 8 - x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $8 - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{8}{3}}] \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3} u^{- \frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 - x^{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} - 1} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Bước 6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Bước 7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Bước 8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Bước 9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 8 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Bước 9.2

Trừ $3$ khỏi $- 8$ .

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{\frac{- 11}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Bước 10

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{3} {(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Bước 10.2

Kết hợp ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ và $\frac{8}{3}$ .

$- \frac{{(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Bước 10.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ .

$- \frac{8 \cdot {(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Bước 10.3.2

Di chuyển ${(8 - x^{3})}^{- \frac{11}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [8 - x^{3}]$

Bước 11

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 - x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Bước 12

Vì $8$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $8$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Bước 13

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Bước 14

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 15

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 15.2

Nhân $\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ với $1$ .

$\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 16

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} (3 x^{2})$

Bước 17

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Kết hợp $3$ và $\frac{8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 8}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} x^{2}$

Bước 17.2

Nhân $3$ với $8$ .

$\frac{24}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}} x^{2}$

Bước 17.3

Kết hợp $\frac{24}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$ và $x^{2}$ .

$\frac{24 x^{2}}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Bước 17.4

Đưa $3$ ra ngoài $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Bước 18

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}$ .

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 ({(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}})}$

Bước 18.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (8 x^{2})}{3 {(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Bước 18.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{8 x^{2}}{{(8 - x^{3})}^{\frac{11}{3}}}$

Bước 19

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{8 x^{2}}{{(- x^{3} + 8)}^{\frac{11}{3}}}$