Giải tích Ví dụ

${(x + 1)}^{x}$

Bước 1

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại ${(x + 1)}^{x}$ ở dạng $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}]$

Bước 1.2

Khai triển $\ln ({(x + 1)}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x + 1)}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x \ln (x + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x \ln (x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x \ln (x + 1)$ .

$e^{x \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x \ln (x + 1)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x + 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x + 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (x (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{x + 1}$ và $x$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.5.2

Nhân $\frac{x}{x + 1}$ với $1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1)$

Bước 5.7

Nhân $\ln (x + 1)$ với $1$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \ln (x + 1))$

Bước 6

Để viết $\ln (x + 1)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$e^{x \ln (x + 1)} (\frac{x}{x + 1} + \frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1})$

Bước 7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{x \ln (x + 1)} \frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}$

Bước 8

Kết hợp $e^{x \ln (x + 1)}$ và $\frac{x + \ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1}$ .

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) (x + 1))}{x + 1}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1)}{x + 1}$

Bước 9.1.1.2

Nhân $\ln (x + 1)$ với $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} (x + \ln (x + 1) x + \ln (x + 1))}{x + 1}$

Bước 9.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} (\ln (x + 1) x) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$

Bước 9.1.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} (\ln (x + 1) x) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)$ .

$\frac{x e^{x \ln (x + 1)} + x e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$

Bước 9.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{x \ln (x + 1)} x + e^{x \ln (x + 1)} x \ln (x + 1) + e^{x \ln (x + 1)} \ln (x + 1)}{x + 1}$