Giải tích Ví dụ

$2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 2.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$4 x - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$4 x - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$4 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.6

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.6.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$4 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$4 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$4 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.10

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$4 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.11

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$4 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.12

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $0$ .

$4 x + 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 3.13

Cộng $2 x^{- 3}$ và $0$ .

$4 x + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$4 x + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{3}$ .

$4 x + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{3}$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Bước 4.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Bước 4.4.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - x^{- 6} (3 x^{2})$

Bước 4.5

Nhân $3$ với $- 1$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - 3 x^{- 6} x^{2}$

Bước 4.6

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Bước 4.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 x + 2 x^{- 3} - 3 x^{2 - 6}$

Bước 4.6.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$4 x + 2 x^{- 3} - 3 x^{- 4}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 2 \frac{1}{x^{3}} - 3 x^{- 4}$

Bước 5.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + 2 \frac{1}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 5.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 x + \frac{2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Bước 5.3.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 x + \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}$

Bước 5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 x + \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}$