Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sqrt{x}$ , $a = 4$

Bước 1

Xét hàm số đã sử dụng để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Bước 2

Thay giá trị của $a = 4$ vào hàm số tuyến tính hóa.

$L (x) = f (4) + f' (4) (x - 4)$

Bước 3

Tính $f (4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f (4) = \sqrt{4}$

Bước 3.2

Rút gọn $\sqrt{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$(\sqrt{4})$

Bước 3.2.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\sqrt{4}$

Bước 3.2.3

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Bước 3.2.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$2$

Bước 4

Tìm đạo hàm và tính giá trị của nó tại $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm của $f (x) = \sqrt{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 4.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 4.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 4.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 4.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 4.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 4.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 4.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.1.8.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.2

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$\frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 4.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 4.3.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Bước 4.3.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2^{1 + 1}}$

Bước 4.3.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2^{2}}$

Bước 4.3.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{4}$

Bước 5

Thay các thành phần vào hàm tuyến tính hóa để tìm sự tuyến tính hóa tại $a$ .

$L (x) = 2 + \frac{1}{4} (x - 4)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$L (x) = 2 + \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Bước 6.1.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$L (x) = 2 + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

Bước 6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$L (x) = 2 + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

Bước 6.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$L (x) = 2 + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Bước 6.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$L (x) = 2 + \frac{x}{4} - 1$

Bước 6.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$L (x) = \frac{x}{4} + 1$

Bước 7