Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{3} - 2 x^{3}}{h}$

Bước 1

Chuyển số hạng $\frac{1}{h}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{h} lim_{x \to 0} 2 {(x + h)}^{3} - 2 x^{3}$

Bước 2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} 2 {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Bước 3

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{h} (2 lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Bước 4

Đưa số mũ $3$ từ ${(x + h)}^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Bước 5

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Bước 6

Tính giới hạn của $h$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} 2 x^{3})$

Bước 7

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - 2 lim_{x \to 0} x^{3})$

Bước 8

Đưa số mũ $3$ từ $x^{3}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$\frac{1}{h} (2 {(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

Bước 9

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{h} (2 {(0 + h)}^{3} - 2 {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$\frac{1}{h} (2 {(0 + h)}^{3} - 2 \cdot 0^{3})$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Cộng $0$ và $h$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3} - 2 \cdot 0^{3})$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3} - 2 \cdot 0)$

Bước 10.2.2

Nhân $- 2$ với $0$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3} + 0)$

Bước 10.3

Cộng $2 h^{3}$ và $0$ .

$\frac{1}{h} (2 h^{3})$

Bước 10.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{1}{h} h^{3}$

Bước 10.5

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{h}$ .

$\frac{2}{h} h^{3}$

Bước 10.6

Triệt tiêu thừa số chung $h$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Đưa $h$ ra ngoài $h^{3}$ .

$\frac{2}{h} (h \cdot h^{2})$

Bước 10.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{h} (h \cdot h^{2})$

Bước 10.6.3

Viết lại biểu thức.

$2 h^{2}$