Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (2 - \csc^{2} (x)) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 - \csc^{2} (x) d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} 2 d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \csc^{2} (x) d x$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x$

Bước 5

Vì đạo hàm của $- \cot (x)$ là $\csc^{2} (x)$ , tích phân của $\csc^{2} (x)$ là $- \cot (x)$ .

$2 x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính $2 x$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $\frac{π}{4}$ .

$(2 \frac{π}{2}) - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Bước 6.1.2

Tính $- \cot (x)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $\frac{π}{4}$ .

$2 \frac{π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{2}$ .

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 π}{2} - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.2.2

Chia $π$ cho $1$ .

$π - 2 \frac{π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{π}{4}$ .

$π + \frac{- 2 π}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 π$ .

$π + \frac{2 (- π)}{4} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$π + \frac{2 (- π)}{2 (2)} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$π + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$π + \frac{- π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$π - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.6

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.7

Kết hợp $π$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{π \cdot 2 - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.1.3.10

Trừ $π$ khỏi $2 π$ .

$\frac{π}{2} - (- \cot (\frac{π}{2}) + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$\frac{π}{2} - (- 0 + \cot (\frac{π}{4}))$

Bước 6.2.2

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\frac{π}{2} - (- 0 + 1)$

Bước 6.2.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{π}{2} - (0 + 1)$

Bước 6.2.4

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Bước 6.2.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{2} - 1$

Dạng thập phân:

$0.57079632 \dots$