Giải tích Ví dụ

$\int_{- 1}^{1} (3 x^{3} - x^{2} + x - 1) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{3} - x^{2} + x - 1 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 1 d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + - x]_{- 1}^{1}$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}$ và $- x]_{- 1}^{1}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

Bước 11.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$3 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

Bước 11.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$3 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2} - x]_{- 1}^{1}$

Bước 11.2.3

Tính $\frac{1}{2} x^{2} - x$ tại $1$ và tại $- 1$ .

$3 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $4$ .

$3 (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{1 - 1}{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.4

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$3 (\frac{0}{4}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.5

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$3 \frac{4 (0)}{4} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.5.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$3 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{0}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.5.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$3 \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.6

Nhân $3$ với $0$ .

$0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$0 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.8

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$0 - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$0 - (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.11

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$0 - \frac{1 + 1}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.13

Cộng $1$ và $1$ .

$0 - \frac{2}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.14

Trừ $\frac{2}{3}$ khỏi $0$ .

$- \frac{2}{3} + (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.15

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.16

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.17

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 1 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.18

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.19

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2}{3} + \frac{1 - 1 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.21

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.21.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{1 - 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.21.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.22

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.23

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 1 - - 1)$

Bước 11.2.4.24

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} - - 1)$

Bước 11.2.4.25

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + 1)$

Bước 11.2.4.26

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Bước 11.2.4.27

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1 + 2}{2}$

Bước 11.2.4.28

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

Bước 11.2.4.29

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{2}{3} + \frac{- 1 - 3}{2}$

Bước 11.2.4.30

Trừ $3$ khỏi $- 1$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 4}{2}$

Bước 11.2.4.31

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.31.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Bước 11.2.4.31.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.31.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Bước 11.2.4.31.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Bước 11.2.4.31.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2}{3} + \frac{- 2}{1}$

Bước 11.2.4.31.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$- \frac{2}{3} - 2$

Bước 11.2.4.32

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 11.2.4.33

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Bước 11.2.4.34

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 - 2 \cdot 3}{3}$

Bước 11.2.4.35

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.4.35.1

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{- 2 - 6}{3}$

Bước 11.2.4.35.2

Trừ $6$ khỏi $- 2$ .

$\frac{- 8}{3}$

Bước 11.2.4.36

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{8}{3}$

Bước 12

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{8}{3}$

Dạng thập phân:

$- 2.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$- 2 \frac{2}{3}$

Bước 13