Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 12}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

Bước 1.2

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - 6 \ln (x^{3})}$

Bước 1.3

Vì hàm số $\ln (x^{3})$ tiến dần đến $\infty$ , nên hằng số âm $- 6$ nhân với hàm số tiến dần đến $- \infty$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Xét giới hạn với bội số không đổi $- 6$ đã bị loại bỏ.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{3})}$

Bước 1.3.2

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 1.3.3

Vì hàm số $\ln (x^{3})$ tiến dần đến $\infty$ , nên hằng số âm $- 6$ nhân với hàm số tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{\infty}{- \infty}$

Bước 1.3.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{- \infty}$

Bước 1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{- \infty}$

Bước 2

Vì $\frac{\infty}{- \infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 3 x + 12}{- 6 \ln (x^{3})} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3 x + 12$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Bước 3.4.3

Nhân $3$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Bước 3.5

Vì $12$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $12$ đối với $x$ là $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Bước 3.6

Cộng $2 x + 3$ và $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [- 6 \ln (x^{3})]}$

Bước 3.7

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 \ln (x^{3})$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})]}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Bước 3.8.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Bước 3.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 6 (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}])}$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{x^{3}}$ và $- 6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Bước 3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{6}{x^{3}} (3 x^{2})}$

Bước 3.12

Nhân $3$ với $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- 3 \frac{6}{x^{3}} x^{2}}$

Bước 3.13

Kết hợp $- 3$ và $\frac{6}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 3 \cdot 6}{x^{3}} x^{2}}$

Bước 3.14

Nhân $- 3$ với $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x^{3}} x^{2}}$

Bước 3.15

Kết hợp $\frac{- 18}{x^{3}}$ và $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18 x^{2}}{x^{3}}}$

Bước 3.16

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- 18 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{3}}}$

Bước 3.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.16.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

Bước 3.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{x^{2} \cdot - 18}{x^{2} x}}$

Bước 3.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{- 18}{x}}$

Bước 3.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{- \frac{18}{x}}$

Bước 4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to \infty} (2 x + 3) (- \frac{x}{18})$

Bước 5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$lim_{x \to \infty} 2 x (- \frac{x}{18}) + 3 (- \frac{x}{18})$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển $x$ .

$lim_{x \to \infty} 2 \cdot - 1 x \frac{x}{18} + 3 (- \frac{x}{18})$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} - 2 x \frac{x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Bước 7

Kết hợp $- 2 x$ và $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x \cdot x}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Bước 8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x)}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Bước 9

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Bước 10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{1 + 1}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Bước 11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Cộng $1$ và $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + 3 \cdot - 1 \frac{x}{18}$

Bước 11.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} - 3 \frac{x}{18}$

Bước 11.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 2 x^{2}}{18} + \frac{- 3 x}{18}$

Bước 12

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\infty$