Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \sqrt{x - x^{2}} d x$

Bước 1

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sắp xếp lại $x$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Bước 1.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Bước 1.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Bước 1.4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$d = - \frac{1}{2}$

Bước 1.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Bước 1.5.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Bước 1.5.2.1.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Bước 1.5.2.1.4

Nhân $- - \frac{1}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Bước 1.5.2.1.4.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Bước 1.5.2.2

Cộng $0$ và $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Bước 1.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - \frac{1}{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Bước 2.1.4

Vì $- \frac{1}{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{1}{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 0 - \frac{1}{2}$

Bước 2.3

Trừ $\frac{1}{2}$ khỏi $0$ .

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = x - \frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$u_{upper} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Bước 2.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{upper} = \frac{2 - 1}{2}$

Bước 2.5.3

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - \frac{1}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1}{4}} d u_{1}$

Bước 3

Viết biểu thức bằng số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{4}} d u_{1}$

Bước 3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}} d u_{1}$

Bước 4

Viết lại $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} d u_{1}$

Bước 5

Sắp xếp lại $- {u_{1}}^{2}$ và ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 6

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{1}{2}$ và $b = u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Bước 7

Để viết $u_{1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + u_{1} \cdot \frac{2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Bước 8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $u_{1}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{u_{1} \cdot 2}{2}) (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Bước 8.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + u_{1} \cdot 2}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Bước 9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1})} d u_{1}$

Bước 10

Để viết $- u_{1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} - u_{1} \cdot \frac{2}{2})} d u_{1}$

Bước 11

Kết hợp $- u_{1}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} (\frac{1}{2} + \frac{- u_{1} \cdot 2}{2})} d u_{1}$

Bước 12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - u_{1} \cdot 2}{2}} d u_{1}$

Bước 13

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1 + 2 u_{1}}{2} \cdot \frac{1 - 2 u_{1}}{2}} d u_{1}$

Bước 14

Nhân $\frac{1 + 2 u_{1}}{2}$ với $\frac{1 - 2 u_{1}}{2}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{2 \cdot 2}} d u_{1}$

Bước 15

Nhân $2$ với $2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}} d u_{1}$

Bước 16

Viết lại $\frac{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}{4}$ ở dạng ${(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{4}} d u_{1}$

Bước 16.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}} d u_{1}$

Bước 16.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1}))} d u_{1}$

Bước 17

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})} d u_{1}$

Bước 17.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Bước 18

Khai triển $(1 + 2 u_{1}) (1 - 2 u_{1})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 (1 - 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Bước 18.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} (1 - 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Bước 18.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 \cdot 1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Bước 19

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.1

Nhân $1$ với $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 1 (- 2 u_{1}) + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Bước 19.1.2

Nhân $- 2 u_{1}$ với $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} \cdot 1 + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Bước 19.1.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 u_{1} (- 2 u_{1})}}{2} d u_{1}$

Bước 19.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 u_{1} \cdot u_{1}}}{2} d u_{1}$

Bước 19.1.5

Nhân $u_{1}$ với $u_{1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1.5.1

Di chuyển $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 (u_{1} \cdot u_{1})}}{2} d u_{1}$

Bước 19.1.5.2

Nhân $u_{1}$ với $u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} + 2 \cdot - 2 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Bước 19.1.6

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 2 u_{1} + 2 u_{1} - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Bước 19.2

Cộng $- 2 u_{1}$ và $2 u_{1}$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 + 0 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Bước 19.3

Cộng $1$ và $0$ .

$\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{\sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Bước 20

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 4 {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 21

Giả sử $u_{1} = \frac{1}{2} \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{\cos (t)}{2} d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\frac{\cos (t)}{2}$ dương.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 22

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Rút gọn $\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (t)$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{\sin (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1.1.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 22.1.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 22.1.2

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 22.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

Bước 22.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Kết hợp $\cos (t)$ và $\frac{\cos (t)}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

Bước 22.2.2

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

Bước 22.2.3

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

Bước 22.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

Bước 22.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Bước 23

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t)$

Bước 24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 24.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Bước 24.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Bước 25

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Bước 26

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Bước 27

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 27.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 27.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{8} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Bước 28

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{8} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Bước 29

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Bước 30

Giả sử $u_{2} = 2 t$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 t$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.1.1

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 30.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 30.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 30.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 30.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Bước 30.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{2}$ vào tử số.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Bước 30.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Bước 30.3.3

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = - π$

Bước 30.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 30.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 30.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 30.5.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π$

Bước 30.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Bước 30.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 31

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 32

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 33

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Bước 34

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.1

Tính $t$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Bước 34.2

Tính $\sin (u_{2})$ tại $π$ và tại $- π$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Bước 34.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{8} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Bước 34.3.2

Cộng $π$ và $π$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Bước 34.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 34.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{8} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Bước 34.3.3.2

Chia $π$ cho $1$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Bước 35

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 35.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 35.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 35.1.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Bước 35.1.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Bước 35.1.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Bước 35.1.1.4

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Bước 35.1.1.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Bước 35.1.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{1}{8} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Bước 35.1.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$\frac{1}{8} (π + 0)$

Bước 35.2

Cộng $π$ và $0$ .

$\frac{1}{8} π$

Bước 35.3

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $π$ .

$\frac{π}{8}$

Bước 36

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{8}$

Dạng thập phân:

$0.39269908 \dots$

Bước 37