Giải tích Ví dụ

$y = \arcsin (\frac{1}{9 x + 6})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{1}{9 x + 6}))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arcsin (x)$ và $g (x) = \frac{1}{9 x + 6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{1}{9 x + 6}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x + 6}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\arcsin (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x + 6}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{1}{9 x + 6}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{9 x + 6}]$

Bước 3.2

Viết lại $\frac{1}{9 x + 6}$ ở dạng ${(9 x + 6)}^{- 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(9 x + 6)}^{- 1}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 9 x + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $9 x + 6$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $9 x + 6$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} (- {(9 x + 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [9 x + 6])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Kết hợp $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}}$ và ${(9 x + 6)}^{- 2}$ .

$- \frac{{(9 x + 6)}^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

Bước 3.4.2

Di chuyển ${(9 x + 6)}^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [9 x + 6]$

Bước 3.4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $9 x + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 3.4.4

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 3.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 3.4.6

Nhân $9$ với $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 + \frac{d}{d x} [6])$

Bước 3.4.7

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} (9 + 0)$

Bước 3.4.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.8.1

Cộng $9$ và $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}} \cdot 9$

Bước 3.4.8.2

Nhân $9$ với $- 1$ .

$- 9 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Bước 3.4.8.3

Kết hợp $- 9$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Bước 3.4.8.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{9}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{9 x + 6})}^{2}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{9 x + 6}$ .

$- \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Bước 3.5.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9}{\sqrt{1 - \frac{1}{{(9 x + 6)}^{2}}} {(9 x + 6)}^{2}}$