Giải tích Ví dụ

$f (x) = {\begin{cases} c x^{2} + 4 x & x < 5 \\ x^{3} - c x & x \geq 5 \end{cases}$

Bước 1

Tìm giới hạn của $c x^{2} + 4 x$ khi $x$ tiến dần đến $5$ từ phía bên trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Thay đổi giới hạn hai bên thành giới hạn trái.

$lim_{x \to 5^{-}} c x^{2} + 4 x$

Bước 1.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $5$ .

$lim_{x \to 5^{-}} c x^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

Bước 1.3

Chuyển số hạng $c$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$c lim_{x \to 5^{-}} x^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

Bước 1.4

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$c {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 5^{-}} 4 x$

Bước 1.5

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$c {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 5^{-}} x$

Bước 1.6

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $5$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $5$ cho $x$ .

$c \cdot 5^{2} + 4 lim_{x \to 5^{-}} x$

Bước 1.6.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $5$ cho $x$ .

$c \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5$

Bước 1.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$c \cdot 25 + 4 \cdot 5$

Bước 1.7.2

Di chuyển $25$ sang phía bên trái của $c$ .

$25 \cdot c + 4 \cdot 5$

Bước 1.7.3

Nhân $4$ với $5$ .

$25 c + 20$

Bước 2

Tính $x^{3} - c x$ tại $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Thay thế biến $x$ bằng $5$ trong biểu thức.

${(5)}^{3} - c \cdot 5$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nâng $5$ lên lũy thừa $3$ .

$125 - c \cdot 5$

Bước 2.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$125 - 5 c$

Bước 3

Vì giới hạn của $c x^{2} + 4 x$ khi $x$ tiến dần đến $5$ từ phía bên trái không bằng với giá trị hàm số tại $x = 5$ , nên hàm số không liên tục tại $x = 5$ .

Không liên tục

Bước 4