Giải tích Ví dụ

$y = arccsc (x^{2} + 1)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arccsc (x^{2} + 1))$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = arccsc (x)$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $arccsc (u)$ đối với $u$ là $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 3.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x + 0)$

Bước 3.2.4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x)$

Bước 3.2.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Bước 3.2.4.3

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 2}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Bước 3.2.4.4

Kết hợp $\frac{- 2}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ và $x$ .

$\frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

Bước 3.2.4.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1^{2}}}$

Bước 3.3.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x^{2} + 1$ và $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 1 + 1) (x^{2} + 1 - 1)}}$

Bước 3.3.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.3.1

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) (x^{2} + 1 - 1)}}$

Bước 3.3.1.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}}$

Bước 3.3.1.3.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) x^{2}}}$

Bước 3.3.1.4

Sắp xếp lại $x^{2} + 2$ và $x^{2}$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} (x^{2} + 2)}}$

Bước 3.3.1.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 3.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 3.3.3

Nhân $\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$ với $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$- (\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}})$

Bước 3.3.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Nhân $\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$ với $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2}}$

Bước 3.3.4.2

Di chuyển $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Bước 3.3.4.3

Nâng $\sqrt{x^{2} + 2}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Bước 3.3.4.4

Nâng $\sqrt{x^{2} + 2}$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

Bước 3.3.4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

Bước 3.3.4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

Bước 3.3.4.7

Viết lại ${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ ở dạng $x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + 2}$ ở dạng ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.3.4.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.3.4.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.3.4.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.3.4.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

Bước 3.3.4.7.5

Rút gọn.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = - \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$