Giải tích Ví dụ

$\int_{- 2}^{1} (4 x^{2} - 2 x + 3) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{2} - 2 x + 3 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 2}^{1} 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - 2 x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Bước 3

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$4 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} - 2 x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 2 x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 2 x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Bước 6

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - 2 \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 3 d x$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 3 x]_{- 2}^{1}$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $- 2$ .

$4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + 3 x]_{- 2}^{1}$

Bước 10.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $- 2$ .

$4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 2}^{1}$

Bước 10.3

Tính $3 x$ tại $1$ và tại $- 2$ .

$4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$4 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.2

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$4 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$4 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$4 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.5

Nhân $\frac{8}{3}$ với $1$ .

$4 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$4 \frac{1 + 8}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.7

Cộng $1$ và $8$ .

$4 (\frac{9}{3}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.8

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.8.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$4 \frac{3 \cdot 3}{3} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.8.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$4 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$4 (\frac{3}{1}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.8.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$4 \cdot 3 - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.9

Nhân $4$ với $3$ .

$12 - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.11

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.12

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$12 - 2 (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.12.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.13

Nhân $- 1$ với $2$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - 2) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.14

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.15

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$12 - 2 (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$12 - 2 \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.17

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.17.1

Nhân $- 2$ với $2$ .

$12 - 2 \frac{1 - 4}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.17.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$12 - 2 (\frac{- 3}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.18

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$12 - 2 (- \frac{3}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.19

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$12 + 2 (\frac{3}{2}) + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.20

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{2}$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.21

Nhân $2$ với $3$ .

$12 + \frac{6}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.22

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.22.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.22.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.22.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.22.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.22.2.3

Viết lại biểu thức.

$12 + \frac{3}{1} + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.22.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$12 + 3 + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.23

Cộng $12$ và $3$ .

$15 + (3 \cdot 1) - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.24

Nhân $3$ với $1$ .

$15 + 3 - 3 \cdot - 2$

Bước 10.4.25

Nhân $- 3$ với $- 2$ .

$15 + 3 + 6$

Bước 10.4.26

Cộng $3$ và $6$ .

$15 + 9$

Bước 10.4.27

Cộng $15$ và $9$ .

$24$

Bước 11