Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{a} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x = \frac{1}{5}$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + x$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + a$

Bước 1.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + a$

Bước 1.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{1 + a} \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{1 + a} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int_{1}^{1 + a} u^{- 2} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1}]_{1}^{1 + a}$

Bước 4

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $- u^{- 1}$ tại $1 + a$ và tại $1$ .

$(- {(1 + a)}^{- 1}) + 1^{- 1}$

Bước 4.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- {(1 + a)}^{- 1} + 1$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{1 + a} + 1$

Bước 5.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{1 + a} + \frac{1 + a}{1 + a}$

Bước 5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 + 1 + a}{1 + a}$

Bước 5.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Cộng $- 1$ và $1$ .

$\frac{0 + a}{1 + a}$

Bước 5.4.2

Cộng $0$ và $a$ .

$\frac{a}{1 + a}$