Giải tích Ví dụ

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 3 - 4 x$ . Sau đó $d u = - 4 d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 3 - 4 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $3 - 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 - 4 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.1.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Bước 2.1.3.3

Nhân $- 4$ với $1$ .

$0 - 4$

Bước 2.1.4

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$- 4$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 - 4 x$ .

$u_{lower} = 3 - 4 t$

Bước 2.3

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 - 4 x$ .

$u_{upper} = 3 - 4 \cdot 0$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $- 4$ với $0$ .

$u_{upper} = 3 + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$u_{upper} = 3$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 3 - 4 t$

$u_{upper} = 3$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Bước 3.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $u$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{4 u} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{4 u} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{4} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} d u)$

Bước 6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$

Bước 7

Kết hợp $\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$ và $\frac{1}{4}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}}{4}$

Bước 8

Tính $\ln (| u |)$ tại $3$ và tại $3 - 4 t$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 3 - 4 t |)}{4}$

Bước 9

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Bước 10

Vì hàm số $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ tiến dần đến $- \infty$ , nên hằng số âm $- 1$ nhân với hàm số tiến dần đến $\infty$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Xét giới hạn với bội số không đổi $- 1$ đã bị loại bỏ.

$lim_{t \to - \infty} \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

Bước 10.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{lim_{t \to - \infty} \ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Bước 10.3

Khi $t$ tiến dần đến $- \infty$ từ cả hai phía, $\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})$ giảm không giới hạn.

$\frac{- \infty}{lim_{t \to - \infty} 4}$

Bước 10.4

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $- \infty$ .

$\frac{- \infty}{4}$

Bước 10.5

Số vô cùng khi chia cho một số khác không hữu hạn sẽ cũng cho ra số vô cùng.

$- \infty$

Bước 10.6

Vì hàm số $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ tiến dần đến $- \infty$ , nên hằng số âm $- 1$ nhân với hàm số tiến dần đến $\infty$ .

$\infty$