Giải tích Ví dụ

$\int_{- 5}^{2} (x^{2} + 3 x - 10) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 5}^{2} x^{2} + 3 x - 10 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 5}^{2} x^{2} d x + \int_{- 5}^{2} 3 x d x + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + \int_{- 5}^{2} 3 x d x + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Bước 4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + 3 \int_{- 5}^{2} x d x + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{2}) + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{2}) + \int_{- 5}^{2} - 10 d x$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{2}) + - 10 x]_{- 5}^{2}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{2}$ và $- 10 x]_{- 5}^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 10 x]_{- 5}^{2}$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $2$ và tại $- 5$ .

$3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 10 x]_{- 5}^{2}$

Bước 8.2.2

Tính $\frac{1}{3} x^{3} - 10 x$ tại $2$ và tại $- 5$ .

$3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$3 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$3 (2 - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.3

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$3 (2 - \frac{25}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.4

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.5

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{2 \cdot 2 - 25}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.7.1

Nhân $2$ với $2$ .

$3 \frac{4 - 25}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.7.2

Trừ $25$ khỏi $4$ .

$3 (\frac{- 21}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 (- \frac{21}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.9

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 (\frac{21}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.10

Kết hợp $- 3$ và $\frac{21}{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot 21}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.11

Nhân $- 3$ với $21$ .

$\frac{- 63}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{63}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2) - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.13

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{1}{3} \cdot 8 - 10 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.14

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $8$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8}{3} - 10 \cdot 2 - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.15

Nhân $- 10$ với $2$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8}{3} - 20 - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.16

Để viết $- 20$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.17

Kết hợp $- 20$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.18

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{63}{2} + \frac{8 - 20 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.19

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.19.1

Nhân $- 20$ với $3$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{8 - 60}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.19.2

Trừ $60$ khỏi $8$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{- 52}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.20

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (\frac{1}{3} {(- 5)}^{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.21

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 125 - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.22

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 125$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (\frac{- 125}{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.23

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (- \frac{125}{3} - 10 \cdot - 5)$

Bước 8.2.3.24

Nhân $- 10$ với $- 5$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (- \frac{125}{3} + 50)$

Bước 8.2.3.25

Để viết $50$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (- \frac{125}{3} + 50 \cdot \frac{3}{3})$

Bước 8.2.3.26

Kết hợp $50$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - (- \frac{125}{3} + \frac{50 \cdot 3}{3})$

Bước 8.2.3.27

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - \frac{- 125 + 50 \cdot 3}{3}$

Bước 8.2.3.28

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.28.1

Nhân $50$ với $3$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - \frac{- 125 + 150}{3}$

Bước 8.2.3.28.2

Cộng $- 125$ và $150$ .

$- \frac{63}{2} - \frac{52}{3} - \frac{25}{3}$

Bước 8.2.3.29

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{63}{2} + \frac{- 52 - 25}{3}$

Bước 8.2.3.30

Trừ $25$ khỏi $- 52$ .

$- \frac{63}{2} + \frac{- 77}{3}$

Bước 8.2.3.31

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{63}{2} - \frac{77}{3}$

Bước 8.2.3.32

Để viết $- \frac{63}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{77}{3}$

Bước 8.2.3.33

Để viết $- \frac{77}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{63}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{77}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 8.2.3.34

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.34.1

Nhân $\frac{63}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{63 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{77}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 8.2.3.34.2

Nhân $2$ với $3$ .

$- \frac{63 \cdot 3}{6} - \frac{77}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 8.2.3.34.3

Nhân $\frac{77}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{63 \cdot 3}{6} - \frac{77 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Bước 8.2.3.34.4

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{63 \cdot 3}{6} - \frac{77 \cdot 2}{6}$

Bước 8.2.3.35

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 63 \cdot 3 - 77 \cdot 2}{6}$

Bước 8.2.3.36

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.36.1

Nhân $- 63$ với $3$ .

$\frac{- 189 - 77 \cdot 2}{6}$

Bước 8.2.3.36.2

Nhân $- 77$ với $2$ .

$\frac{- 189 - 154}{6}$

Bước 8.2.3.36.3

Trừ $154$ khỏi $- 189$ .

$\frac{- 343}{6}$

Bước 8.2.3.37

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{343}{6}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{343}{6}$

Dạng thập phân:

$- 57.1\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$- 57 \frac{1}{6}$

Bước 10