Giải tích Ví dụ

$y = \cot^{2} (\sin (θ))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = θ^{2}$ và $g (θ) = \cot (\sin (θ))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cot (\sin (θ))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cot (\sin (θ))$ .

$2 \cot (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \cot (θ)$ và $g (θ) = \sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\sin (θ)$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\cot (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sin (θ)$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Bước 3

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ))$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Bước 4.3

Viết lại $\csc (\sin (θ))$ theo sin và cosin.

$- 2 {(\frac{1}{\sin (\sin (θ))})}^{2} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Bước 4.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Bước 4.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Bước 4.6

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Bước 4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Bước 4.8

Kết hợp $\cos (θ)$ và $\frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$- \frac{\cos (θ) \cdot 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

Bước 4.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (θ)$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

Bước 4.10

Viết lại $\cot (\sin (θ))$ theo sin và cosin.

$- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$

Bước 4.11

Nhân $- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.1

Nhân $\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ với $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Bước 4.11.2

Nhân $\sin (\sin (θ))$ với $\sin^{2} (\sin (θ))$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.2.1

Nhân $\sin (\sin (θ))$ với $\sin^{2} (\sin (θ))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.11.2.1.1

Nâng $\sin (\sin (θ))$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{1} (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Bước 4.11.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{{\sin (\sin (θ))}^{1 + 2}}$

Bước 4.11.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

Bước 4.12

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (\sin (θ))$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

Bước 4.13

Đưa $\sin (\sin (θ))$ ra ngoài $\sin^{3} (\sin (θ))$ .

$- \frac{2 \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Bước 4.14

Tách các phân số.

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))})$

Bước 4.15

Quy đổi từ $\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ sang $\cot (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.16

Đưa $\sin (\sin (θ))$ ra ngoài $\sin^{2} (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.17

Tách các phân số.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.18

Viết lại $\frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))}$ ở dạng một tích.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.19

Viết $\cos (θ)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\frac{\cos (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.20.1

Chia $\cos (θ)$ cho $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.20.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ sang $\csc (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.21

Tách các phân số.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.22

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ sang $\csc (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2}{1} \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.23

Chia $2$ cho $1$ .

$- (2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.24

Nhân $2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ)))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.24.1

Nâng $\csc (\sin (θ))$ lên lũy thừa $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.24.2

Nâng $\csc (\sin (θ))$ lên lũy thừa $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc^{1} (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.24.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- (2 {\csc (\sin (θ))}^{1 + 1} \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.24.4

Cộng $1$ và $1$ .

$- (2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Bước 4.25

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$