Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + 4 \sin (- 2 x)$

Bước 1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\frac{π}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Bước 2

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Bước 3

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì tang liên tục.

$4 \tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Bước 4

Chuyển số hạng $- 1$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

Bước 5

Chuyển số hạng $4$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (- 2 x)$

Bước 6

Di chuyển giới hạn vào trong hàm lượng giác vì sin liên tục.

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} - 2 x)$

Bước 7

Chuyển số hạng $- 2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Bước 8

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $\frac{π}{6}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{6}$ cho $x$ .

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Bước 8.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $\frac{π}{6}$ cho $x$ .

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$4 \tan (\frac{11 π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Bước 9.1.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì tang âm trong góc phần tư thứ tư.

$4 (- \tan (\frac{π}{6})) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Bước 9.1.3

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{6})$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Bước 9.1.4

Nhân $4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.4.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Bước 9.1.4.2

Kết hợp $- 4$ và $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Bước 9.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

Bước 9.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 (- 1) \frac{π}{6})$

Bước 9.1.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Bước 9.1.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Bước 9.1.6.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- \frac{π}{3})$

Bước 9.1.7

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Bước 9.1.8

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Bước 9.1.9

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Bước 9.1.10

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.10.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ vào tử số.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.1.10.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.1.10.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Bước 9.1.10.4

Viết lại biểu thức.

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (- \sqrt{3})$

Bước 9.1.11

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3}$

Bước 9.2

Để viết $- 2 \sqrt{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Bước 9.3

Kết hợp $- 2 \sqrt{3}$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Bước 9.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Bước 9.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{3}$

Bước 9.5.2

Trừ $6 \sqrt{3}$ khỏi $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3}}{3}$

Bước 9.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Dạng thập phân:

$- 5.77350269 \dots$