Giải tích Ví dụ

$y = (5 x - 3) (4 x - \frac{3}{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 5 x - 3$ và $g (x) = 4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x - \frac{3}{x}] + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x - \frac{3}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

$(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Bước 2.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Bước 2.4

Nhân $4$ với $1$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Bước 2.5

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{x}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Bước 2.6

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Bước 2.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$(5 x - 3) (4 - 3 (- x^{- 2})) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Bước 2.8

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

Bước 2.9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.10

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.12

Nhân $5$ với $1$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Bước 2.13

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + 0)$

Bước 2.14

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.14.1

Cộng $5$ và $0$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \cdot 5$

Bước 2.14.2

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $4 x - \frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + 5 \cdot (4 x - \frac{3}{x})$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x - \frac{3}{x})$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Bước 3.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

Bước 3.3.2

Nhân $4$ với $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + 5 (- \frac{3}{x})$

Bước 3.3.3

Nhân $- 1$ với $5$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - 5 \frac{3}{x}$

Bước 3.3.4

Kết hợp $- 5$ và $\frac{3}{x}$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 5 \cdot 3}{x}$

Bước 3.3.5

Nhân $- 5$ với $3$ .

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 15}{x}$

Bước 3.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - \frac{15}{x}$

Bước 3.3.7

Để viết $(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x}{x} - \frac{15}{x}$

Bước 3.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Bước 3.3.9

Để viết $20 x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{20 x \cdot x}{x} + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Bước 3.3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{20 x \cdot x + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Bước 3.3.11

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Bước 3.3.12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{20 (x^{1} x^{1}) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Bước 3.3.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{20 x^{1 + 1} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Bước 3.3.14

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{20 x^{2} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{20 x^{2} + x (4 + \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{20 x^{2} + (x \cdot 4 + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Bước 3.5.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Bước 3.5.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Bước 3.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Bước 3.5.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + \frac{3}{x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

Bước 3.5.4

Khai triển $(4 x + \frac{3}{x}) (5 x - 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x - 3) + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Bước 3.5.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

Bước 3.5.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Bước 3.5.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Bước 3.5.5.2

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.2.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Bước 3.5.5.2.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Bước 3.5.5.3

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Bước 3.5.5.4

Nhân $- 3$ với $4$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Bước 3.5.5.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 5 \frac{3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Bước 3.5.5.6

Nhân $5 \frac{3}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.6.1

Kết hợp $5$ và $\frac{3}{x}$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{5 \cdot 3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Bước 3.5.5.6.2

Nhân $5$ với $3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Bước 3.5.5.7

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Bước 3.5.5.7.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

Bước 3.5.5.8

Nhân $\frac{3}{x} \cdot - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.8.1

Kết hợp $\frac{3}{x}$ và $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3 \cdot - 3}{x} - 15}{x}$

Bước 3.5.5.8.2

Nhân $3$ với $- 3$ .

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{- 9}{x} - 15}{x}$

Bước 3.5.5.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Bước 3.5.6

Cộng $20 x^{2}$ và $20 x^{2}$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

Bước 3.5.7

Trừ $15$ khỏi $15$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x} + 0}{x}$

Bước 3.5.8

Cộng $40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}$ và $0$ .

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}}{x}$

Bước 3.5.9

Để viết $40 x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x}{x} - \frac{9}{x}}{x}$

Bước 3.5.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x - 9}{x}}{x}$

Bước 3.5.11

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.11.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x \cdot x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Bước 3.5.11.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.11.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x^{1} x^{2}) - 9}{x}}{x}$

Bước 3.5.11.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{1 + 2} - 9}{x}}{x}$

Bước 3.5.11.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Bước 3.5.12

Để viết $- 12 x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 12 x \cdot \frac{x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Bước 3.5.13

Kết hợp $- 12 x$ và $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Bước 3.5.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Bước 3.5.15

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.15.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.15.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{\frac{- 12 (x \cdot x) + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Bước 3.5.15.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{\frac{- 12 x^{2} + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

Bước 3.5.15.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}}{x}$

Bước 3.6

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 3.7

Nhân $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x \cdot x}$

Bước 3.7.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x}$

Bước 3.7.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x^{1}}$

Bước 3.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1 + 1}}$

Bước 3.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{2}}$