Giải tích Ví dụ

$y = x \sqrt{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 1.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Bước 1.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Bước 1.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Bước 1.2.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Bước 1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Bước 1.7.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.8

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 2.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 2.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 2.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 2.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 2.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 2.9

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Bước 2.10

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Bước 2.10.2

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$