Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{7} {(3 i - 2)}^{3}$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng định lý nhị thức.

${(3 i)}^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 i$ .

$3^{3} i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 i^{3} + 3 {(3 i)}^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $3 i$ .

$27 i^{3} + 3 (3^{2} i^{2}) \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2.4

Nhân $3$ với $3^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Di chuyển $3^{2}$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2.4.2

Nhân $3^{2}$ với $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$27 i^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$27 i^{3} + 3^{2 + 1} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2.4.3

Cộng $2$ và $1$ .

$27 i^{3} + 3^{3} i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2.5

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$27 i^{3} + 27 i^{2} \cdot - 2 + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2.6

Nhân $- 2$ với $27$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 3 (3 i) {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2.7

Nhân $3$ với $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2.8

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 9 i \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2.9

Nhân $4$ với $9$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i + {(- 2)}^{3}$

Bước 1.2.10

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $3$ .

$27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Bước 1.3

Viết lại tổng.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8$

Bước 2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{i = 1}^{7} 27 i^{3} - 54 i^{2} + 36 i - 8 = 27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3} - 54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2} + 36 \sum_{i = 1}^{7} i + \sum_{i = 1}^{7} - 8$

Bước 3

Tính $27 \sum_{i = 1}^{7} i^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $3$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Bước 3.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(27) (\frac{7^{2} {(7 + 1)}^{2}}{4})$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Cộng $7$ và $1$ .

$27 \frac{7^{2} \cdot 8^{2}}{4}$

Bước 3.3.1.2

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 8^{2}}{4}$

Bước 3.3.1.3

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$27 \frac{49 \cdot 64}{4}$

Bước 3.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $49$ với $64$ .

$27 (\frac{3136}{4})$

Bước 3.3.2.2

Chia $3136$ cho $4$ .

$27 \cdot 784$

Bước 3.3.2.3

Nhân $27$ với $784$ .

$21168$

Bước 4

Tính $54 \sum_{i = 1}^{7} i^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Bước 4.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(- 54) (\frac{7 (7 + 1) (2 \cdot 7 + 1)}{6})$

Bước 4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Cộng $7$ và $1$ .

$- 54 \frac{7 \cdot 8 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Bước 4.3.1.2

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Nhân $7$ với $8$ .

$- 54 \frac{56 (2 \cdot 7 + 1)}{6}$

Bước 4.3.1.2.2

Nhân $2$ với $7$ .

$- 54 \frac{56 (14 + 1)}{6}$

Bước 4.3.1.3

Cộng $14$ và $1$ .

$- 54 \frac{56 \cdot 15}{6}$

Bước 4.3.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $56$ với $15$ .

$- 54 (\frac{840}{6})$

Bước 4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $- 54$ .

$6 (- 9) \frac{840}{6}$

Bước 4.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$6 \cdot - 9 \frac{840}{6}$

Bước 4.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 9 \cdot 840$

Bước 4.3.2.3

Nhân $- 9$ với $840$ .

$- 7560$

Bước 5

Tính $36 \sum_{i = 1}^{7} i$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Bước 5.2

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(36) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Cộng $7$ và $1$ .

$36 \frac{7 \cdot 8}{2}$

Bước 5.3.1.2

Nhân $7$ với $8$ .

$36 (\frac{56}{2})$

Bước 5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $36$ .

$2 (18) \frac{56}{2}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 18 \frac{56}{2}$

Bước 5.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$18 \cdot 56$

Bước 5.3.3

Nhân $18$ với $56$ .

$1008$

Bước 6

Tính $\sum_{i = 1}^{7} - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 6.2

Thay các giá trị vào công thức.

$(- 8) (7)$

Bước 6.3

Nhân $- 8$ với $7$ .

$- 56$

Bước 7

Cộng các kết quả của tổng.

$21168 - 7560 + 1008 - 56$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Trừ $7560$ khỏi $21168$ .

$13608 + 1008 - 56$

Bước 8.2

Cộng $13608$ và $1008$ .

$14616 - 56$

Bước 8.3

Trừ $56$ khỏi $14616$ .

$14560$