Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} (x^{2} + 2 x - 4) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{1}^{3} x^{2} + 2 x - 4 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{3} x^{2} d x + \int_{1}^{3} 2 x d x + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} 2 x d x + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 \int_{1}^{3} x d x + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Bước 6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - 4 d x$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + - 4 x]_{1}^{3}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$ và $- 4 x]_{1}^{3}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{3}) + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x]_{1}^{3}$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $3$ và tại $1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} - 4 x]_{1}^{3}$

Bước 8.2.2

Tính $\frac{1}{3} x^{3} - 4 x$ tại $3$ và tại $1$ .

$2 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2 (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 \frac{9 - 1}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.4

Trừ $1$ khỏi $9$ .

$2 (\frac{8}{2}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{4}{1}) + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.5.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$2 \cdot 4 + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.6

Nhân $2$ với $4$ .

$8 + (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 3) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.7

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$8 + \frac{1}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $27$ .

$8 + \frac{27}{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $27$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.9.1

Đưa $3$ ra ngoài $27$ .

$8 + \frac{3 \cdot 9}{3} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.9.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$8 + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$8 + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$8 + \frac{9}{1} - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.9.2.4

Chia $9$ cho $1$ .

$8 + 9 - 4 \cdot 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.10

Nhân $- 4$ với $3$ .

$8 + 9 - 12 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.11

Trừ $12$ khỏi $9$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.12

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$8 - 3 - (\frac{1}{3} \cdot 1 - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.13

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} - 4 \cdot 1)$

Bước 8.2.3.14

Nhân $- 4$ với $1$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} - 4)$

Bước 8.2.3.15

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})$

Bước 8.2.3.16

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{3}$ .

$8 - 3 - (\frac{1}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})$

Bước 8.2.3.17

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 - 3 - \frac{1 - 4 \cdot 3}{3}$

Bước 8.2.3.18

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.18.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$8 - 3 - \frac{1 - 12}{3}$

Bước 8.2.3.18.2

Trừ $12$ khỏi $1$ .

$8 - 3 - \frac{- 11}{3}$

Bước 8.2.3.19

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$8 - 3 - - \frac{11}{3}$

Bước 8.2.3.20

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$8 - 3 + 1 (\frac{11}{3})$

Bước 8.2.3.21

Nhân $\frac{11}{3}$ với $1$ .

$8 - 3 + \frac{11}{3}$

Bước 8.2.3.22

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$8 - 3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{11}{3}$

Bước 8.2.3.23

Kết hợp $- 3$ và $\frac{3}{3}$ .

$8 + \frac{- 3 \cdot 3}{3} + \frac{11}{3}$

Bước 8.2.3.24

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 + \frac{- 3 \cdot 3 + 11}{3}$

Bước 8.2.3.25

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.25.1

Nhân $- 3$ với $3$ .

$8 + \frac{- 9 + 11}{3}$

Bước 8.2.3.25.2

Cộng $- 9$ và $11$ .

$8 + \frac{2}{3}$

Bước 8.2.3.26

Để viết $8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Bước 8.2.3.27

Kết hợp $8$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Bước 8.2.3.28

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{8 \cdot 3 + 2}{3}$

Bước 8.2.3.29

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.29.1

Nhân $8$ với $3$ .

$\frac{24 + 2}{3}$

Bước 8.2.3.29.2

Cộng $24$ và $2$ .

$\frac{26}{3}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{26}{3}$

Dạng thập phân:

$8.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$8 \frac{2}{3}$

Bước 10