Giải tích Ví dụ

$x + 3 y^{\frac{1}{3}} = y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x + 3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 3 y^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y^{\frac{1}{3}}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ .

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

Bước 2.2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

Bước 2.2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

Bước 2.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

Bước 2.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

Bước 2.2.7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

Bước 2.2.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

Bước 2.2.9

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + 3 (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

Bước 2.2.10

Kết hợp $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ và $y'$ .

$1 + 3 \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

Bước 2.2.11

Di chuyển $y^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.2.12

Kết hợp $3$ và $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ .

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.2.13

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

Bước 2.2.14

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} = y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y' = - 1$

Bước 5.2

Đưa $y'$ ra ngoài $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $y'$ ra ngoài $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) - y' = - 1$

Bước 5.2.2

Đưa $y'$ ra ngoài $- y'$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) + y' \cdot - 1 = - 1$

Bước 5.2.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} + y' \cdot - 1$ .

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Bước 5.3

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

Bước 5.4

Viết lại $y^{\frac{2}{3}}$ ở dạng ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$y' (\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 1) = - 1$

Bước 5.5

Viết lại $\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ ở dạng ${(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1) = - 1$

Bước 5.6

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1^{2}) = - 1$

Bước 5.7

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ và $b = 1$ .

$y' ((\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)) = - 1$

Bước 5.7.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$

Bước 5.8

Chia mỗi số hạng trong $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ cho $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ cho $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ .

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Bước 5.8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 5.8.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Bước 5.8.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Bước 5.8.2.4

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Bước 5.8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Bước 5.8.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

Bước 5.8.3.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Bước 5.8.3.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

Bước 5.8.3.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 5.8.3.2

Nhân $\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ với $\frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}}$

Bước 5.8.3.3

Nhân $y^{\frac{1}{3}}$ với $y^{\frac{1}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.8.3.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}}$

Bước 5.8.3.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1 + 1}{3}}}}$

Bước 5.8.3.3.3

Cộng $1$ và $1$ .

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{2}{3}}}}$

Bước 5.8.3.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y' = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$