Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{2 x} + 2 \sqrt{x}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sqrt{2 x} + 2 \sqrt{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 x}$ ở dạng ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.4

Vì $2^{\frac{1}{2}}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.11

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.12

Kết hợp $2^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.13

Di chuyển $2^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.14

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.15

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.15.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.15.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.15.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.15.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 2.15.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 3.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 3.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.10

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3.11

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.12

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.13

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$