Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{12} 3 \sqrt{x + 4} d x$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{0}^{12} \sqrt{x + 4} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x + 4$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x + 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 2.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x + 4$ .

$u_{lower} = 0 + 4$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $4$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x + 4$ .

$u_{upper} = 12 + 4$

Bước 2.5

Cộng $12$ và $4$ .

$u_{upper} = 16$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 16$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$3 \int_{4}^{16} \sqrt{u} d u$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{4}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{16})$

Bước 5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{16})$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $16$ và tại $4$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 16^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{2 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{2 \cdot 4^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.5

Nhân $2$ với $64$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.6

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Bước 6.2.7

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Bước 6.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Bước 6.2.8.2

Viết lại biểu thức.

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3})$

Bước 6.2.9

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{2 \cdot 8}{3})$

Bước 6.2.10

Nhân $2$ với $8$ .

$3 (\frac{128}{3} - \frac{16}{3})$

Bước 6.2.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{128 - 16}{3}$

Bước 6.2.12

Trừ $16$ khỏi $128$ .

$3 (\frac{112}{3})$

Bước 6.2.13

Kết hợp $3$ và $\frac{112}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 112}{3}$

Bước 6.2.14

Nhân $3$ với $112$ .

$\frac{336}{3}$

Bước 6.2.15

Triệt tiêu thừa số chung của $336$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.15.1

Đưa $3$ ra ngoài $336$ .

$\frac{3 \cdot 112}{3}$

Bước 6.2.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.15.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 112}{3 (1)}$

Bước 6.2.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 112}{3 \cdot 1}$

Bước 6.2.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{112}{1}$

Bước 6.2.15.2.4

Chia $112$ cho $1$ .

$112$

Bước 7