Giải tích Ví dụ

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x + \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + \frac{1}{x}$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 x + 2 \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + \frac{2}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số của $(2 x + \frac{2}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$ .

$(1 - \frac{1}{x^{2}}) (2 x + \frac{2}{x})$

Bước 3.5

Khai triển $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (2 x + \frac{2}{x})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (2 x + \frac{2}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (2 x + \frac{2}{x})$

Bước 3.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (2 x) + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x + \frac{2}{x})$

Bước 3.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (2 x) + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Bước 3.6

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Nhân $2 x$ với $1$ .

$2 x + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Bước 3.6.1.2

Nhân $\frac{2}{x}$ với $1$ .

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Bước 3.6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x^{2}}$ vào tử số.

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Bước 3.6.1.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Bước 3.6.1.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Bước 3.6.1.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Bước 3.6.1.3.5

Viết lại biểu thức.

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot 2 - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Bước 3.6.1.4

Kết hợp $\frac{- 1}{x}$ và $2$ .

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1 \cdot 2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Bước 3.6.1.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Bước 3.6.1.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Bước 3.6.1.7

Nhân $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.7.1

Nhân $\frac{2}{x}$ với $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

Bước 3.6.1.7.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.7.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.7.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

Bước 3.6.1.7.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

Bước 3.6.1.7.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

Bước 3.6.2

Trừ $\frac{2}{x}$ khỏi $\frac{2}{x}$ .

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

Bước 3.6.3

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$