Giải tích Ví dụ

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

Bước 1

Để $y = f (θ)$ , lấy logarit tự nhiên của cả hai vế $\ln (y) = \ln (f (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ) \tan (θ))$

Bước 2

Viết lại $\ln (\sec (θ) \tan (θ))$ ở dạng $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Bước 3

Differentiate the expression using the chain rule, keeping in mind that $y$ is a function of $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm vế trái $\ln (y)$ bằng quy tắc chuỗi.

$\frac{y'}{y} = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tính đạo hàm $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))]$

Bước 3.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ đối với $θ$ là $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Bước 3.2.3

Tính $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \ln (θ)$ và $g (θ) = \sec (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Bước 3.2.3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Bước 3.2.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Bước 3.2.3.2

Đạo hàm của $\sec (θ)$ đối với $θ$ là $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Bước 3.2.3.3

Viết lại $\sec (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Bước 3.2.3.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = 1 \cos (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Bước 3.2.3.5

Nhân $\cos (θ)$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Bước 3.2.4

Tính $\frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \ln (θ)$ và $g (θ) = \tan (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Bước 3.2.4.1.2

Đạo hàm của $\ln (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Bước 3.2.4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Bước 3.2.4.2

Đạo hàm của $\tan (θ)$ đối với $θ$ là $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \sec^{2} (θ)$

Bước 3.2.4.3

Viết lại $\tan (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}} \sec^{2} (θ)$

Bước 3.2.4.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sec^{2} (θ)$

Bước 3.2.4.5

Quy đổi từ $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ sang $\cot (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \cot (θ) \sec^{2} (θ)$

Bước 3.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Bước 3.2.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.1.1

Sắp xếp lại $\cos (θ)$ và $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \sec (θ) \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Bước 3.2.5.2.1.2

Viết lại $\cos (θ) \sec (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\cos (θ)} \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Bước 3.2.5.2.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\frac{y'}{y} = 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Bước 3.2.5.2.2

Nhân $\tan (θ)$ với $1$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Bước 3.2.5.2.3

Viết lại $\tan (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Bước 3.2.5.2.4

Viết lại $\sec (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cot (θ)$

Bước 3.2.5.2.5

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Bước 3.2.5.2.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Bước 3.2.5.2.7

Viết lại $\cot (θ)$ theo sin và cosin.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Bước 3.2.5.2.8

Kết hợp.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Bước 3.2.5.2.9

Triệt tiêu thừa số chung của $\cos (θ)$ và $\cos^{2} (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.9.1

Đưa $\cos (θ)$ ra ngoài $1 \cos (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Bước 3.2.5.2.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.2.9.2.1

Đưa $\cos (θ)$ ra ngoài $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Bước 3.2.5.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Bước 3.2.5.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Bước 3.2.5.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.5.3.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ sang $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Bước 3.2.5.3.2

Tách các phân số.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Bước 3.2.5.3.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (θ)}$ sang $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Bước 3.2.5.3.4

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (θ)}$ sang $\csc (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)$

Bước 4

Tách riêng $y'$ và thay hàm số ban đầu cho $y$ ở vế phải.

$y' = (\tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ))$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y' = \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Bước 5.2

Nhân $\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nâng $\tan (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Bước 5.2.2

Nâng $\tan (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Bước 5.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y' = {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Bước 5.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Bước 5.3

Nhân $\csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nâng $\sec (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)$

Bước 5.3.2

Nâng $\sec (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)$

Bước 5.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)$

Bước 5.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec^{2} (θ) \tan (θ)$