Giải tích Ví dụ

$\int \sin^{2} (x) d x$

Bước 1

Đưa $\sin (x)$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$\int \sin (x) \sin (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (x)$ và $d v = \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - \int - \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos (x) \cos (x) d x$

Bước 4

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Bước 5

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) - - \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 8

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + 1 \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 9

Nhân $\int \cos^{2} (x) d x$ với $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 10

Nhân với $1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \int \cos^{2} (x) \cdot 1 d x$

Bước 11

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos^{2} (x)$ và $d v = 1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x - \int x (- 2 \cos (x) \sin (x)) d x$

Bước 12

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x - (- 2 \int x (\cos (x) \sin (x)) d x)$

Bước 13

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x + 2 \int x (\cos (x) \sin (x)) d x$

Bước 14

Khi giải tìm $\int \sin^{2} (x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int \sin^{2} (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x}{- 1}$ .

$\frac{\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x}{- 1} + C$

Bước 15

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x) + C$

Bước 15.1.2

Viết lại $- 1 (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x)$ ở dạng $- (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x)$ .

$- (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x) + C$

Bước 15.2

Viết lại $- (\sin (x) (- \cos (x)) + \cos^{2} (x) x) + C$ ở dạng $- (- \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x) x) + C$ .

$- (- \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x) x) + C$