Giải tích Ví dụ

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sec (θ) \tan (θ))$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = \sec (θ)$ và $g (y) = \tan (θ)$ .

$\sec (θ) \frac{d}{d y} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \tan (y)$ và $g (y) = θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $θ$ .

$\sec (θ) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d y} [θ]) + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec (θ) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d y} [θ]) + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $θ$ .

$\sec (θ) (\sec^{2} (θ) \frac{d}{d y} [θ]) + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Bước 3.3

Nâng $\sec (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{2} (θ) \sec^{1} (θ) \frac{d}{d y} [θ] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${\sec (θ)}^{2 + 1} \frac{d}{d y} [θ] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Bước 3.5

Cộng $2$ và $1$ .

$\sec^{3} (θ) \frac{d}{d y} [θ] + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Bước 3.6

Viết lại $\frac{d}{d y} [θ]$ ở dạng $θ'$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) \frac{d}{d y} [\sec (θ)]$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \sec (y)$ và $g (y) = θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $θ$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d y} [θ])$

Bước 3.7.2

Đạo hàm của $\sec (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d y} [θ])$

Bước 3.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $θ$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Bước 3.8

Nâng $\tan (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{1} (θ) \tan (θ) (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Bước 3.9

Nâng $\tan (θ)$ lên lũy thừa $1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Bước 3.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\sec^{3} (θ) θ' + {\tan (θ)}^{1 + 1} (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Bước 3.11

Cộng $1$ và $1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) (\sec (θ) \frac{d}{d y} [θ])$

Bước 3.12

Viết lại $\frac{d}{d y} [θ]$ ở dạng $θ'$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = \sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ'$

Bước 5

Giải tìm $θ'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ' = 1$ .

$\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ' = 1$

Bước 5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sec^{3} (θ) θ' + \tan^{2} (θ) \sec (θ) θ'$ .

$θ' \sec^{3} (θ) + θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ) = 1$

Bước 5.3

Đưa $θ' \sec (θ)$ ra ngoài $θ' \sec^{3} (θ) + θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $θ' \sec (θ)$ ra ngoài $θ' \sec^{3} (θ)$ .

$θ' \sec (θ) \sec^{2} (θ) + θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ) = 1$

Bước 5.3.2

Đưa $θ' \sec (θ)$ ra ngoài $θ' \tan^{2} (θ) \sec (θ)$ .

$θ' \sec (θ) \sec^{2} (θ) + θ' \sec (θ) \tan^{2} (θ) = 1$

Bước 5.3.3

Đưa $θ' \sec (θ)$ ra ngoài $θ' \sec (θ) \sec^{2} (θ) + θ' \sec (θ) \tan^{2} (θ)$ .

$θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)) = 1$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)) = 1$ cho $\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)) = 1$ cho $\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))$ .

$\frac{θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{θ' \sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{θ' (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{θ' (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Bước 5.4.2.2.2

Chia $θ'$ cho $1$ .

$θ' = \frac{1}{\sec (θ) (\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ))}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Tách các phân số.

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

Bước 5.4.3.2

Viết lại $\sec (θ)$ theo sin và cosin.

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Bước 5.4.3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} (1 \cos (θ))$

Bước 5.4.3.4

Nhân $\cos (θ)$ với $1$ .

$θ' = \frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)} \cos (θ)$

Bước 5.4.3.5

Kết hợp $\frac{1}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)}$ và $\cos (θ)$ .

$θ' = \frac{\cos (θ)}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)}$

Bước 6

Thay thế $θ'$ bằng $\frac{d θ}{d y}$ .

$\frac{d θ}{d y} = \frac{\cos (θ)}{\sec^{2} (θ) + \tan^{2} (θ)}$