Giải tích Ví dụ

$\frac{x}{y^{3}} = 1$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\frac{x}{y^{3}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y^{3}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{{(y^{3})}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(y^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{y^{3 \cdot 2}}$

Bước 2.2.1.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{y^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{y^{6}}$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{y^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{y^{6}}$

Bước 2.2.3

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$\frac{y^{3} - x \frac{d}{d x} [y^{3}]}{y^{6}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{y^{3} - x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])}{y^{6}}$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{y^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])}{y^{6}}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{y^{3} - x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])}{y^{6}}$

Bước 2.4

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{y^{3} - 3 x (y^{2} \frac{d}{d x} [y])}{y^{6}}$

Bước 2.4.2

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{3} - 3 x y^{2} \frac{d}{d x} [y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{3}$ .

$\frac{y^{2} y - 3 x y^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{6}}$

Bước 2.4.2.2

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $- 3 x y^{2} \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{y^{2} y + y^{2} (- 3 x \frac{d}{d x} [y])}{y^{6}}$

Bước 2.4.2.3

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{2} y + y^{2} (- 3 x \frac{d}{d x} [y])$ .

$\frac{y^{2} (y - 3 x \frac{d}{d x} [y])}{y^{6}}$

Bước 2.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $y^{6}$ .

$\frac{y^{2} (y - 3 x \frac{d}{d x} [y])}{y^{2} y^{4}}$

Bước 2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2} (y - 3 x \frac{d}{d x} [y])}{y^{2} y^{4}}$

Bước 2.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y - 3 x \frac{d}{d x} [y]}{y^{4}}$

Bước 2.6

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{y - 3 x y'}{y^{4}}$

Bước 2.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 3 x y' + y}{y^{4}}$

Bước 3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{- 3 x y' + y}{y^{4}} = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho tử bằng không.

$- 3 x y' + y = 0$

Bước 5.2

Giải phương trình để tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 3 x y' = - y$

Bước 5.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- 3 x y' = - y$ cho $- 3 x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 3 x y' = - y$ cho $- 3 x$ .

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{- y}{- 3 x}$

Bước 5.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{- y}{- 3 x}$

Bước 5.2.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{- 3 x}$

Bước 5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- y}{- 3 x}$

Bước 5.2.2.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- y}{- 3 x}$

Bước 5.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$y' = \frac{y}{3 x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x}$