Giải tích Ví dụ

$- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Bước 1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân các số mũ trong ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Bước 3.3

Nhân ${(1 + x^{2})}^{2}$ với $1$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Bước 5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Bước 5.2

Đưa $1 + x^{2}$ ra ngoài ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $1 + x^{2}$ ra ngoài ${(1 + x^{2})}^{2}$ .

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Bước 5.2.2

Đưa $1 + x^{2}$ ra ngoài $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ .

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Bước 5.2.3

Đưa $1 + x^{2}$ ra ngoài $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ .

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

Bước 6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $1 + x^{2}$ ra ngoài ${(1 + x^{2})}^{4}$ .

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 6.3

Viết lại biểu thức.

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 8

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 9

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 11

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 13

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 15

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 16

Trừ $4 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$- 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 17

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ .

$\frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

Bước 18

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$