Giải tích Ví dụ

$\frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{\sqrt{x}})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Bước 4

Rút gọn.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Bước 7

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Bước 8

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Bước 9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Bước 10

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Bước 10.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Bước 11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Bước 12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Bước 13

Kết hợp $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $e^{x}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{x}}{2}}{x}$

Bước 14

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{e^{x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 15.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 15.2.1.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $- \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}}) + e^{x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Bước 15.2.1.3

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} (x^{\frac{1}{2}}) + e^{x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Bước 15.2.2

Để viết $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Bước 15.2.3

Kết hợp $x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

Bước 15.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 15.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.5.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 15.2.5.2

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.5.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x} \frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 15.2.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 15.2.5.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 15.2.5.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{2}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 15.2.5.2.5

Chia $2$ cho $2$ .

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{1} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 15.2.5.3

Rút gọn $2 x^{1}$ .

$\frac{e^{x} \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 15.3

Kết hợp $e^{x}$ và $\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Bước 15.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 15.5

Kết hợp.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Bước 15.6

Nhân $x^{\frac{1}{2}}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 15.6.2

Nhân $x$ với $x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Bước 15.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Bước 15.6.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Bước 15.6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Bước 15.6.5

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Bước 15.7

Nhân $e^{x} (2 x - 1)$ với $1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$