Giải tích Ví dụ

$\cot (y) = x - y$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cot (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\cot (u)$ đối với $u$ là $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$1 - y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- \csc^{2} (y) y' = 1 - y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \csc^{2} (y) y'$ .

$- y' \csc^{2} (y) = 1 - y'$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $y'$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $y'$ cho cả hai vế của phương trình.

$- y' \csc^{2} (y) + y' = 1$

Bước 5.2.2

Sắp xếp lại $- y' \csc^{2} (y)$ và $y'$ .

$y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Bước 5.2.3

Viết lại $y'$ ở dạng $1 y'$ .

$1 y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

Bước 5.2.4

Đưa $- y'$ ra ngoài $1 y'$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Bước 5.2.5

Đưa $- y'$ ra ngoài $- y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

Bước 5.2.6

Đưa $- y'$ ra ngoài $- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y)$ .

$- y' (- 1 + \csc^{2} (y)) = 1$

Bước 5.2.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$- y' (\csc^{2} (y) - 1) = 1$

Bước 5.2.8

Áp dụng đẳng thức pytago.

$- y' \cot^{2} (y) = 1$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $- y' \cot^{2} (y) = 1$ cho $- \cot^{2} (y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- y' \cot^{2} (y) = 1$ cho $- \cot^{2} (y)$ .

$\frac{- y' \cot^{2} (y)}{- \cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cot^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $1$ và $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.3.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{1}{\cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y' = - \frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$

Bước 5.3.3.3

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$ .

$y' = - {(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$

Bước 5.3.3.4

Viết lại $\cot (y)$ theo sin và cosin.

$y' = - {(\frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})}^{2}$

Bước 5.3.3.5

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

$y' = - {(\frac{\sin (y)}{\cos (y)})}^{2}$

Bước 5.3.3.6

Quy đổi từ $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ sang $\tan (y)$ .

$y' = - \tan^{2} (y)$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \tan^{2} (y)$