Giải tích Ví dụ

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ , $1 \leq x \leq 2$

Bước 1

Kiểm tra xem $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[1, 2]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{4 x}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$4 x = 0$

Bước 1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 1.1.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$x = 0$

Bước 1.1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Bước 1.2

$f (x)$ liên tục trên $[1, 2]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ có khả vi không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 2.1.1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{3}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 2.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 2.1.1.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 2.1.1.2.4

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 2.1.1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 2.1.1.2.5.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 2.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.3.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4 x}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.1.1.3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 2.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Bước 2.1.1.3.4

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Bước 2.1.1.3.5

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Bước 2.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Bước 2.2

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $[1, 2]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[1, 2]$ không, hãy tìm tập xác định của $f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đặt mẫu số trong $\frac{1}{4 x^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$4 x^{2} = 0$

Bước 2.2.1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} = 0$ cho $4$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x^{2} = 0$ cho $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 2.2.1.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Bước 2.2.1.2.1.2.1.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Bước 2.2.1.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1.3.1

Chia $0$ cho $4$ .

$x^{2} = 0$

Bước 2.2.1.2.2

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{0}$

Bước 2.2.1.2.3

Rút gọn $\pm \sqrt{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Bước 2.2.1.2.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 0$

Bước 2.2.1.2.3.3

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Bước 2.2.1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \neq 0}$

Bước 2.2.2

$f' (x)$ liên tục trên $[1, 2]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 2.3

Hàm số khả vi trên $[1, 2]$ vì đạo hàm liên tục trên $[1, 2]$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 3

Để đảm bảo độ dài cung, cả hàm số và đạo hàm của nó phải liên tục trong khoảng đóng $[1, 2]$ .

Hàm số và đạo hàm của nó liên tục trên khoảng đóng $[1, 2]$ .

Bước 4

Tìm đạo hàm của $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{3}}{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 4.2.3

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 4.2.4

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 4.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 4.2.5.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4 x}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 4.3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 4.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Bước 4.3.4

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Bước 4.3.5

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Bước 5

Để tìm độ dài cung của một hàm số, hãy sử dụng công thức $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}})}^{2}} d x$

Bước 6

Tính tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x^{4} + 1}{x^{2}} d x$

Bước 6.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 6.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 6.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{- 2} d x$

Bước 6.3

Nhân $(4 x^{4} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{4} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $x^{4}$ với $x^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Di chuyển $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 (x^{- 2} x^{4}) + 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{- 2 + 4} + 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.4.1.3

Cộng $- 2$ và $4$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + 1 x^{- 2} d x$

Bước 6.4.2

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + x^{- 2} d x$

Bước 6.5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{2} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Bước 6.6

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Bước 6.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Bước 6.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Bước 6.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Bước 6.10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $1$ .

$\frac{1}{4} (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Bước 6.10.2

Tính $- x^{- 1}$ tại $2$ và tại $1$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 6.10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 6.10.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 6.10.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} (4 \frac{8 - 1}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 6.10.3.4

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{7}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 6.10.3.5

Kết hợp $4$ và $\frac{7}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 7}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 6.10.3.6

Nhân $4$ với $7$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Bước 6.10.3.7

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Bước 6.10.3.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1)$

Bước 6.10.3.9

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Bước 6.10.3.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{- 1 + 2}{2})$

Bước 6.10.3.11

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{1}{2})$

Bước 6.10.3.12

Để viết $\frac{28}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Bước 6.10.3.13

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Bước 6.10.3.14

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.3.14.1

Nhân $\frac{28}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Bước 6.10.3.14.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Bước 6.10.3.14.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

Bước 6.10.3.14.4

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6})$

Bước 6.10.3.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{28 \cdot 2 + 3}{6}$

Bước 6.10.3.16

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.10.3.16.1

Nhân $28$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56 + 3}{6}$

Bước 6.10.3.16.2

Cộng $56$ và $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{59}{6}$

Bước 6.10.3.17

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{59}{6}$ .

$\frac{59}{4 \cdot 6}$

Bước 6.10.3.18

Nhân $4$ với $6$ .

$\frac{59}{24}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{59}{24}$

Dạng thập phân:

$2.458\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$2 \frac{11}{24}$

Bước 8