Giải tích Ví dụ

$\frac{3}{x} - \frac{x}{y} = 2$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{3}{x} - \frac{x}{y}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Bước 2.2.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Bước 2.2.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = - 1$ và $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.4

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 2.3.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Bước 2.3.6

Nhân $y$ với $1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Bước 2.3.7

Nhân $\frac{x}{y}$ với $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Bước 2.3.8

Cộng $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ và $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Bước 2.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Bước 2.5.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Bước 2.5.1.3

Để viết $- \frac{3}{x^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Bước 2.5.1.4

Để viết $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Bước 2.5.1.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $x^{2} y^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1.5.1

Nhân $\frac{3}{x^{2}}$ với $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Bước 2.5.1.5.2

Nhân $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ với $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Bước 2.5.1.5.3

Sắp xếp lại các thừa số của $y^{2} x^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Bước 2.5.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 3 y^{2} - (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

Bước 3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 0$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Cho tử bằng không.

$- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y') = 0$

Bước 5.2

Giải phương trình để tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{2} (- x y') = 0$

Bước 5.2.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.1

Di chuyển $x$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x \cdot x^{2}) (- 1 y') = 0$

Bước 5.2.1.2.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x^{1} x^{2}) (- 1 y') = 0$

Bước 5.2.1.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{1 + 2} (- 1 y') = 0$

Bước 5.2.1.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{3} (- 1 y') = 0$

Bước 5.2.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{3} y' = 0$

Bước 5.2.1.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + 1 x^{3} y' = 0$

Bước 5.2.1.3.3

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + x^{3} y' = 0$

Bước 5.2.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Cộng $3 y^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} y + x^{3} y' = 3 y^{2}$

Bước 5.2.2.2

Cộng $x^{2} y$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$

Bước 5.2.3

Chia mỗi số hạng trong $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ cho $x^{3}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ cho $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Bước 5.2.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Bước 5.2.3.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Bước 5.2.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} y$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{3}}$

Bước 5.2.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.3.1.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{3}$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x}$

Bước 5.2.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{2} x}$

Bước 5.2.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$