Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{x} (3 x - 2) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = 3 x - 2$ và $d v = \sqrt{x}$ .

$(3 x - 2) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d x$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ và $3$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} d x$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $2$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{6 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Bước 2.5

Đưa $3$ ra ngoài $6 x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} d x$

Bước 2.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d x$

Bước 2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d x$

Bước 2.6.3

Viết lại biểu thức.

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1} d x$

Bước 2.6.4

Chia $2 x^{\frac{3}{2}}$ cho $1$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (2 \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Bước 4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $x^{\frac{5}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Bước 6.2

Viết lại $(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$ ở dạng $2 x^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Bước 6.3.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Bước 6.3.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Bước 6.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Bước 6.3.5

Để viết $2 x^{\frac{5}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 6.3.6

Kết hợp $2 x^{\frac{5}{2}}$ và $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 6.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 - 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 6.3.8

Nhân $5$ với $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 6.3.9

Trừ $4 x^{\frac{5}{2}}$ khỏi $10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 6.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$