Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{2 x - x^{2}}} d x$

Bước 1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 2 - x^{2}}} d x$

Bước 1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 2 + x (- x)}} d x$

Bước 1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x (2 - x)}} d x$

Bước 2

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \cdot 2 + x (- x)$

Bước 2.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$2 \cdot x + x (- x)$

Bước 2.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \cdot x - x \cdot x$

Bước 2.1.4

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$2 x - (x \cdot x)$

Bước 2.1.4.2

Nhân $x$ với $x$ .

$2 x - x^{2}$

Bước 2.1.5

Sắp xếp lại $2 x$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x$

Bước 2.2

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Bước 2.3

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 2.4

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Bước 2.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{1}{- 1}$

Bước 2.4.2.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Bước 2.4.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$d = - 1$

Bước 2.5

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Bước 2.5.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Bước 2.5.2.1.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Bước 2.5.2.1.3

Chia $4$ cho $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Bước 2.5.2.1.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Bước 2.5.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$e = 1$

Bước 2.6

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = x - 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = x - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.1.4

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $- u^{2}$ và $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ đối với $u$ là $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 1$ .

$\arcsin (x - 1) + C$