Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $x = 2 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = 2 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $2 \cos (t)$ dương.

$\int \frac{\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.1.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.2

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.3

Đưa $4$ ra ngoài $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.4

Đưa $4$ ra ngoài $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.5

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{\sqrt{4 \cos^{2} (t)}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.6

Viết lại $4 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.1.7

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{2 \cos (t)}{{(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{2^{2} \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cos (t)$ .

$\int \frac{2 (\cos (t))}{4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{2 (\cos (t))}{2 (2 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{2 \cos (t)}{2 (2 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\cos (t)}{2 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Bước 2.2.5

Kết hợp $2$ và $\frac{\cos (t)}{2 \sin^{2} (t)}$ .

$\int \frac{2 \cos (t)}{2 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Bước 2.2.6

Kết hợp $\frac{2 \cos (t)}{2 \sin^{2} (t)}$ và $\cos (t)$ .

$\int \frac{2 \cos (t) \cos (t)}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.7

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{2 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.8

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{2 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{2 {\cos (t)}^{1 + 1}}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.10

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \frac{2 \cos^{2} (t)}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.11

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{2 \cos^{2} (t)}{2 \sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.11.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

Bước 2.2.12

Quy đổi từ $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ sang $\cot^{2} (t)$ .

$\int \cot^{2} (t) d t$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cot^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \csc^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

Bước 5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

Bước 6

Vì đạo hàm của $- \cot (t)$ là $\csc^{2} (t)$ , tích phân của $\csc^{2} (t)$ là $- \cot (t)$ .

$- t + C - \cot (t) + C$

Bước 7

Rút gọn.

$- t - \cot (t) + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$