Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{2 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

Bước 1

Kiểm tra xem $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ có liên tục không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[0, 1]$ không, hãy tìm tập xác định của $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{2 - x^{2}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$2 - x^{2} \geq 0$

Bước 1.1.2

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x^{2} \geq - 2$

Bước 1.1.2.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 2$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Bước 1.1.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Bước 1.1.2.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Bước 1.1.2.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Bước 1.1.2.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Bước 1.1.2.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Bước 1.1.2.5

Viết $| x | \leq \sqrt{2}$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.5.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Bước 1.1.2.5.2

Trong phần nơi mà $x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x \leq \sqrt{2}$

Bước 1.1.2.5.3

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Bước 1.1.2.5.4

Trong phần nơi mà $x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Bước 1.1.2.5.5

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Bước 1.1.2.6

Tìm phần giao của $x \leq \sqrt{2}$ và $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Bước 1.1.2.7

Giải $- x \leq \sqrt{2}$ khi $x < 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq \sqrt{2}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq \sqrt{2}$ cho $- 1$ . Khi nhân hoặc chia cả hai vế của một bất đẳng thức cho một giá trị âm, hãy đổi dấu của bất đẳng thức.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Bước 1.1.2.7.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Bước 1.1.2.7.1.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Bước 1.1.2.7.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.1.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Bước 1.1.2.7.1.3.2

Viết lại $- 1 \cdot \sqrt{2}$ ở dạng $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Bước 1.1.2.7.2

Tìm phần giao của $x \geq - \sqrt{2}$ và $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Bước 1.1.2.8

Tìm hợp của các đáp án.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Bước 1.1.3

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Ký hiệu khoảng:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Bước 1.2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 1]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 2

Kiểm tra xem $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ có khả vi không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 - x^{2}}$ ở dạng ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 2 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 2.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 2.1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 2.1.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 2.1.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 2.1.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 2.1.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 2.1.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 2.1.1.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 2.1.1.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 2.1.1.7.3

Di chuyển ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 2.1.1.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 2.1.1.9

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 2.1.1.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.1.1.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.1.1.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Bước 2.1.1.13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.13.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Bước 2.1.1.13.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 2.1.1.13.3

Kết hợp $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.1.13.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.1.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 2.1.1.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.1.14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.1.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.2

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2

Tìm nếu đạo hàm liên tục trên $[0, 1]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để tìm xem hàm có liên tục trên $[0, 1]$ không, hãy tìm tập xác định của $f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Chuyển đổi các biểu thức có số mũ dạng phân số thành các căn thức

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$- \frac{x}{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{1}}}$

Bước 2.2.1.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $1$ lên đều là chính nó.

$- \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Bước 2.2.1.2

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{2 - x^{2}}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$2 - x^{2} \geq 0$

Bước 2.2.1.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$- x^{2} \geq - 2$

Bước 2.2.1.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} \geq - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.2.1

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.2.1.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.2.1.3.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.2.1.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.2.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Bước 2.2.1.3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của bất đẳng thức để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Bước 2.2.1.3.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.4.1

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Bước 2.2.1.3.5

Viết $| x | \leq \sqrt{2}$ ở dạng hàm từng khúc.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.5.1

Để tìm khoảng cho phần đầu tiên, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối không âm.

$x \geq 0$

Bước 2.2.1.3.5.2

Trong phần nơi mà $x$ không âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối.

$x \leq \sqrt{2}$

Bước 2.2.1.3.5.3

Để tìm khoảng cho phần thứ hai, tìm nơi mà phần bên trong của giá trị tuyệt đối âm.

$x < 0$

Bước 2.2.1.3.5.4

Trong phần nơi mà $x$ âm, loại bỏ giá trị tuyệt đối và nhân với $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Bước 2.2.1.3.5.5

Viết ở dạng hàm từng khúc.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Bước 2.2.1.3.6

Tìm phần giao của $x \leq \sqrt{2}$ và $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Bước 2.2.1.3.7

Giải $- x \leq \sqrt{2}$ khi $x < 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.7.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \leq \sqrt{2}$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.7.1.1

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Bước 2.2.1.3.7.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.7.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Bước 2.2.1.3.7.1.2.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Bước 2.2.1.3.7.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.7.1.3.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Bước 2.2.1.3.7.1.3.2

Viết lại $- 1 \cdot \sqrt{2}$ ở dạng $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Bước 2.2.1.3.7.2

Tìm phần giao của $x \geq - \sqrt{2}$ và $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Bước 2.2.1.3.8

Tìm hợp của các đáp án.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Bước 2.2.1.4

Đặt mẫu số trong $\frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$\sqrt{2 - x^{2}} = 0$

Bước 2.2.1.5

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{2 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Bước 2.2.1.5.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 - x^{2}}$ ở dạng ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Bước 2.2.1.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.2.2.1

Rút gọn ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 2.2.1.5.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Bước 2.2.1.5.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(2 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Bước 2.2.1.5.2.2.1.2

Rút gọn.

$2 - x^{2} = 0^{2}$

Bước 2.2.1.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 - x^{2} = 0$

Bước 2.2.1.5.3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.3.1

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = - 2$

Bước 2.2.1.5.3.2

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 2$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 2$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.2.1.5.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.3.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.2.1.5.3.2.2.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Bước 2.2.1.5.3.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.3.2.3.1

Chia $- 2$ cho $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Bước 2.2.1.5.3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{2}$

Bước 2.2.1.5.3.4

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.5.3.4.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \sqrt{2}$

Bước 2.2.1.5.3.4.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \sqrt{2}$

Bước 2.2.1.5.3.4.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Bước 2.2.1.6

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Bước 2.2.2

$f' (x)$ liên tục trên $[0, 1]$ .

Hàm số liên tục.

Bước 2.3

Hàm số khả vi trên $[0, 1]$ vì đạo hàm liên tục trên $[0, 1]$ .

Hàm số này khả vi.

Bước 3

Để đảm bảo độ dài cung, cả hàm số và đạo hàm của nó phải liên tục trong khoảng đóng $[0, 1]$ .

Hàm số và đạo hàm của nó liên tục trên khoảng đóng $[0, 1]$ .

Bước 4

Tìm đạo hàm của $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 - x^{2}}$ ở dạng ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 2 - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 4.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 4.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 4.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 4.7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 4.7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 4.7.3

Di chuyển ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Bước 4.8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 4.9

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Bước 4.10

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 4.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 4.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Bước 4.13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Bước 4.13.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 4.13.3

Kết hợp $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.13.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Bước 4.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Để tìm độ dài cung của một hàm số, hãy sử dụng công thức $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d x$

Bước 6