Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + \frac{1}{x})}^{x}$

Bước 1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{x}$

Bước 1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to 0^{+}} {(\frac{x + 1}{x})}^{x}$

Bước 2

Sử dụng các tính chất của logarit để rút gọn giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ ở dạng $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})}$

Bước 2.2

Khai triển $\ln ({(\frac{x + 1}{x})}^{x})$ bằng cách di chuyển $x$ ra bên ngoài lôgarit.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Bước 3

Đưa giới hạn vào trong số mũ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\frac{x + 1}{x})}$

Bước 4

Viết lại $x \ln (\frac{x + 1}{x})$ ở dạng $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}}}$

Bước 5

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\frac{x + 1}{x})}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Bước 5.1.2

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Bước 5.1.3

Vì tử số là một hằng số và mẫu số tiến dần đến $0$ khi $x$ tiến dần đến $0$ từ phía bên phải, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến vô cực.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Bước 5.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Bước 5.2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \frac{x + 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.2.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{x + 1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.4

Nhân $\frac{x}{x + 1}$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.8

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.9

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.10

Nhân $x$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1) \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.12

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x - (x + 1)}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.13

Nhân $\frac{x}{x + 1}$ với $\frac{x - (x + 1)}{x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{(x + 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.14.1

Đưa $x$ ra ngoài $(x + 1) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x (x - (x + 1))}{x (x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.14.3

Viết lại biểu thức.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - (x + 1)}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.15.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{x - x - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.15.3.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{0 - 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.3.2

Trừ $1 \cdot 1$ khỏi $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1 \cdot 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x \cdot x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.15.4.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.4.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1} x^{1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{1 + 1} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + 1 x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.4.5

Nhân $x$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{- 1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.4.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x^{2} + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.5

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.15.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.5.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.15.5.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Bước 5.3.16

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Bước 5.3.17

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Bước 5.3.18

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- \frac{1}{x (x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Bước 5.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Bước 5.5

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} 1 \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Bước 5.5.2

Nhân $\frac{1}{x (x + 1)}$ với $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (x + 1)} x^{2}}$

Bước 5.5.3

Kết hợp $\frac{1}{x (x + 1)}$ và $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{x (x + 1)}}$

Bước 5.6

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Bước 5.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot x}{x (x + 1)}}$

Bước 5.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x + 1}}$

Bước 6

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Bước 6.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Bước 6.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Bước 7

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $0$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Bước 7.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $0$ cho $x$ .

$e^{\frac{0}{0 + 1}}$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Cộng $0$ và $1$ .

$e^{\frac{0}{1}}$

Bước 8.2

Chia $0$ cho $1$ .

$e^{0}$

Bước 9

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1$