Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Bước 3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int_{1}^{3} x^{- 2} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{6}{x^{3}} d x$

Bước 6

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - (6 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $6$ với $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x$

Bước 7.2

Di chuyển $x^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Bước 7.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

Bước 7.3.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} x^{- 3} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 3}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3})$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $x^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{3})$

Bước 9.1.2

Di chuyển $x^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3})$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $- x^{- 1}$ tại $3$ và tại $1$ .

$(- 3^{- 1}) + 1^{- 1} - 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3})$

Bước 9.2.2

Tính $- \frac{1}{2 x^{2}}$ tại $3$ và tại $1$ .

$(- 3^{- 1}) + 1^{- 1} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3} + 1^{- 1} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 9.2.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{1}{3} + 1 - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 9.2.3.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 9.2.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 + 3}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 9.2.3.5

Cộng $- 1$ và $3$ .

$\frac{2}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 9.2.3.6

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 9.2.3.7

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Bước 9.2.3.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Bước 9.2.3.9

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

Bước 9.2.3.10

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

Bước 9.2.3.11

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $18$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.11.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

Bước 9.2.3.11.2

Nhân $2$ với $9$ .

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

Bước 9.2.3.12

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} - 6 \frac{- 1 + 9}{18}$

Bước 9.2.3.13

Cộng $- 1$ và $9$ .

$\frac{2}{3} - 6 (\frac{8}{18})$

Bước 9.2.3.14

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $18$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 (4)}{18}$

Bước 9.2.3.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.14.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Bước 9.2.3.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

Bước 9.2.3.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} - 6 (\frac{4}{9})$

Bước 9.2.3.15

Kết hợp $- 6$ và $\frac{4}{9}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 6 \cdot 4}{9}$

Bước 9.2.3.16

Nhân $- 6$ với $4$ .

$\frac{2}{3} + \frac{- 24}{9}$

Bước 9.2.3.17

Triệt tiêu thừa số chung của $- 24$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.17.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 24$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3 (- 8)}{9}$

Bước 9.2.3.17.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.17.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 3}$

Bước 9.2.3.17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 3}$

Bước 9.2.3.17.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{3} + \frac{- 8}{3}$

Bước 9.2.3.18

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2}{3} - \frac{8}{3}$

Bước 9.2.3.19

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 - 8}{3}$

Bước 9.2.3.20

Trừ $8$ khỏi $2$ .

$\frac{- 6}{3}$

Bước 9.2.3.21

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.21.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3}$

Bước 9.2.3.21.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.21.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

Bước 9.2.3.21.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

Bước 9.2.3.21.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{1}$

Bước 9.2.3.21.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$- 2$

Bước 10