Giải tích Ví dụ

$h (x) = \frac{6 x^{2} + 2}{\sqrt{x^{3} + x + 1}}$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $H (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $h (x)$ .

$H (x) = \int h (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$H (x) = \int \frac{6 x^{2} + 2}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

Bước 3

Đưa $2$ ra ngoài $6 x^{2} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2}) + 2}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

Bước 3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2}) + 2 (1)}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

Bước 3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (3 x^{2}) + 2 (1)$ .

$\int \frac{2 (3 x^{2} + 1)}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

Bước 4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{3 x^{2} + 1}{\sqrt{x^{3} + x + 1}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = x^{3} + x + 1$ . Sau đó $d u = (3 x^{2} + 1) d x$ , nên $\frac{1}{3 x^{2} + 1} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = x^{3} + x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + x + 1]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 1 + 0$

Bước 5.1.6

Cộng $3 x^{2} + 1$ và $0$ .

$3 x^{2} + 1$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 6

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 6.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 6.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 6.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 6.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$2 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$4 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + x + 1$ .

$4 {(x^{3} + x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $h (x) = \frac{6 x^{2} + 2}{\sqrt{x^{3} + x + 1}}$ .

$H (x) =$ $4 {(x^{3} + x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$